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14.12 A Democracia Impossível: Escolha Social e o Teorema de Arrow

Os dois teoremas do bem-estar (Seções 14.6–14.7) estabelecem uma conexão elegante entre equilíbrio competitivo e eficiência de Pareto. Mas eficiência é uma condição fraca — diz que não há desperdício, não que a alocação é justa. Uma economia com um bilionário e milhões de miseráveis pode ser Pareto-eficiente. A pergunta inevitável é: se a sociedade quer ir além da eficiência e escolher entre alocações — cada uma eficiente, mas com distribuições diferentes —, existe uma forma de agregar as preferências individuais numa "preferência social" coerente?

Kenneth Arrow respondeu a essa pergunta em 1951. A resposta é devastadora: não.

De preferências individuais a preferências sociais

Suponha que uma sociedade com \(N\) indivíduos deve ordenar \(m \geq 3\) alternativas (políticas públicas, alocações, candidatos). Cada indivíduo \(i\) possui uma relação de preferência completa e transitiva \(\succeq_i\) sobre as alternativas. Uma regra de escolha social (ou função de bem-estar social) é uma função que, para cada perfil de preferências individuais \((\succeq_1, \succeq_2, \ldots, \succeq_N)\), produz uma ordenação social \(\succeq_S\).

Arrow perguntou: que propriedades mínimas devemos exigir de uma regra de escolha social razoável?

Os axiomas de Arrow

Axiomas de Arrow para uma regra de escolha social

  1. Domínio irrestrito (U): a regra funciona para qualquer perfil de preferências individuais — não exige que os indivíduos tenham preferências "bem-comportadas" ou similares.
  2. Princípio de Pareto fraco (P): se todos os indivíduos preferem A a B (\(A \succ_i B\) para todo \(i\)), então a sociedade deve preferir A a B (\(A \succ_S B\)).
  3. Independência de alternativas irrelevantes (IIA): a ordenação social entre A e B depende apenas das preferências individuais entre A e B — não do que os indivíduos pensam sobre uma terceira alternativa C.
  4. Não-ditadura (ND): não existe um indivíduo \(d\) tal que, para todo par de alternativas e todo perfil de preferências, \(A \succ_d B \Rightarrow A \succ_S B\).

Cada axioma, isoladamente, parece não apenas razoável, mas quase óbvio. A unanimidade deve ser respeitada. A classificação entre duas opções não deveria depender de uma terceira. Ninguém deveria ter poder absoluto. O que poderia dar errado?

O Teorema da Impossibilidade

Teorema da Impossibilidade de Arrow (1951)

Se existem pelo menos 3 alternativas e pelo menos 2 indivíduos, não existe regra de escolha social que satisfaça simultaneamente os quatro axiomas acima (U, P, IIA, ND) e produza uma ordenação social completa e transitiva.

Intuição Econômica

Em uma frase: toda democracia é imperfeita — não por falha de design, mas por um teorema matemático.

Pense assim: imagine três amigos decidindo onde jantar. Ana prefere japonês > italiano > mexicano. Bruno prefere italiano > mexicano > japonês. Carla prefere mexicano > japonês > italiano. Votação por maioria: japonês vence italiano (Ana e Carla), italiano vence mexicano (Ana e Bruno), mas mexicano vence japonês (Bruno e Carla). Ciclo: japonês \(\succ\) italiano \(\succ\) mexicano \(\succ\) japonês. A sociedade é "irracional" mesmo com indivíduos racionais — é o Paradoxo de Condorcet, e Arrow provou que nenhum sistema de votação resolve esse problema sem sacrificar algum axioma.

O que isso significa para a economia do bem-estar: o Segundo Teorema do Bem-Estar (Seção 14.7) diz que qualquer alocação Pareto-eficiente pode ser alcançada via mercados competitivos, desde que redistribuamos as dotações iniciais. Mas quem decide qual redistribuição é a "melhor"? Para isso, precisaríamos de uma função de bem-estar social — e Arrow provou que nenhuma função desse tipo satisfaz requisitos mínimos de democracia. O Segundo Teorema resolve o problema de eficiência, mas o problema de justiça permanece em aberto.

Conexão com os Teoremas do Bem-Estar

A relevância do resultado de Arrow para o equilíbrio geral é profunda:

  1. Primeiro Teorema (Seção 14.6): todo equilíbrio walrasiano é Pareto-eficiente — mas há infinitas alocações Pareto-eficientes (toda a curva de contrato).

  2. Segundo Teorema (Seção 14.7): qualquer ponto na curva de contrato pode ser alcançado via mercados, com a redistribuição adequada de dotações.

  3. Arrow (1951): não existe forma democraticamente coerente de escolher entre esses pontos. A economia pode nos levar a qualquer destino eficiente, mas não pode nos dizer qual destino escolher.

Esse encadeamento — eficiência \(\to\) implementação \(\to\) impossibilidade de escolha social — é uma das narrativas mais importantes da microeconomia do século XX. Ele explica por que economistas, quando confrontados com questões distributivas, frequentemente recorrem a funções de bem-estar social específicas (utilitarista, rawlsiana, igualitária) que assumem um critério normativo, em vez de derivá-lo de primeiros princípios democráticos.

Regras de votação e seus defeitos

A impossibilidade de Arrow implica que toda regra prática de votação sacrifica pelo menos um axioma:

Regra O que sacrifica Consequência
Maioria simples Transitividade Ciclos de Condorcet (A \(\succ\) B \(\succ\) C \(\succ\) A)
Ditadura Não-ditadura Uma pessoa decide tudo
Unanimidade (veto) Completude Muitos pares ficam sem comparação
Contagem de Borda IIA Adicionar candidato irrelevante altera o ranking
Votação por aprovação IIA Resultado depende de alternativas disponíveis

Conexão

O Teorema de Arrow reaparece no Capítulo 20 (Seção 20.9), no contexto de bens públicos e votação, com tratamento mais detalhado do Paradoxo de Condorcet, do Teorema do Eleitor Mediano e dos mecanismos de revelação de preferências (VCG). Reaparece também na teoria de matching (Seção 19.9): Roth (1982) provou que nenhum mecanismo de matching estável pode ser strategy-proof para ambos os lados — um resultado de impossibilidade com a mesma estrutura lógica do teorema de Arrow.

Saídas (parciais) da impossibilidade

O resultado de Arrow não significa que devemos desistir da democracia — significa que devemos entender seus limites:

  • Restrição de domínio: se as preferências forem unimodais (single-peaked), a regra de maioria funciona bem — é o Teorema do Eleitor Mediano (Seção 20.9). A unimodalidade é razoável para questões unidimensionais (nível de gasto público, alíquota de imposto), mas falha para problemas multidimensionais.

  • Relaxar IIA: a contagem de Borda viola IIA, mas satisfaz os demais axiomas e tem boas propriedades em muitos contextos práticos. Sen (1970) explorou relaxamentos alternativos.

  • Informação cardinal: se permitirmos comparações interpessoais de utilidade (não apenas ordenações), funções de bem-estar social como a utilitarista (\(W = \sum U_i\)) ou a rawlsiana (\(W = \min U_i\)) são bem-definidas. O custo é abandonar o framework ordinal.

  • Funções de escolha social (em vez de funções de bem-estar social): se exigirmos apenas uma escolha (não uma ordenação completa), o Teorema de Gibbard-Satterthwaite (1973/1975) mostra que, com três ou mais alternativas, o único mecanismo strategy-proof e sobrejetivo é a ditadura — outro resultado de impossibilidade.

Referências

  • Arrow, Kenneth J. 1951. Social Choice and Individual Values. New Haven: Yale University Press. (2ª edição, 1963.)
  • Gibbard, Allan. 1973. "Manipulation of Voting Schemes: A General Result." Econometrica 41 (4): 587–601.
  • Satterthwaite, Mark A. 1975. "Strategy-Proofness and Arrow's Conditions." Journal of Economic Theory 10 (2): 187–217.
  • Sen, Amartya K. 1970. Collective Choice and Social Welfare. San Francisco: Holden-Day. (Edição expandida, Penguin, 2017.)