Exercícios, Revisão e ANPEC — Capítulo 11¶

🧠 Revisão Rápida¶

Teste seu entendimento dos conceitos centrais deste capítulo.

1. A diferença fundamental entre custo econômico e custo contábil é que:

(a) O custo econômico inclui apenas desembolsos monetários efetivos
(b) O custo econômico inclui o custo de oportunidade dos recursos próprios (capital, tempo do empreendedor), enquanto o contábil não
(c) O custo contábil é sempre maior que o econômico
(d) O custo econômico ignora os custos fixos

Resposta

(b) O custo econômico considera o custo de oportunidade de todos os recursos, incluindo os próprios do empresário (retorno que obteria em alternativas). O lucro contábil pode ser positivo enquanto o lucro econômico é zero ou negativo. A alternativa (a) descreve o custo contábil; (c) inverte — o econômico é pelo menos tão grande quanto o contábil.

2. No curto prazo, a curva de custo marginal (CMg) cruza a curva de custo variável médio (CVMe) em seu:

(a) Ponto de máximo
(b) Ponto de mínimo
(c) Ponto de inflexão
(d) Intercepto vertical

Resposta

(b) Quando $\text{CMg} < \text{CVMe}$, o CVMe está caindo; quando $\text{CMg} > \text{CVMe}$, o CVMe está subindo. Portanto, o CMg cruza o CVMe exatamente no mínimo do CVMe. O mesmo raciocínio se aplica à relação entre CMg e CTMe. A alternativa (a) é incorreta — as curvas médias em U não têm máximo relevante neste contexto; (c) refere-se a outra propriedade.

3. Economias de escala existem quando:

(a) O custo marginal é crescente
(b) O custo médio de longo prazo é decrescente — produzir mais reduz o custo por unidade
(c) O custo fixo é zero
(d) O custo total é proporcional à quantidade produzida

Resposta

(b) Economias de escala significam que o custo médio de longo prazo (CMeLP) cai à medida que a produção aumenta. Ocorrem por indivisibilidades, especialização do trabalho ou vantagens tecnológicas. A alternativa (a) é compatível com deseconomias de escala; (c) eliminaria parte das economias de escala (que vêm de diluir custos fixos); (d) implica custo médio constante (nem economias nem deseconomias).

4. No longo prazo, todos os insumos são variáveis. Isso implica que:

(a) Os custos fixos de longo prazo são positivos
(b) A curva de custo médio de longo prazo é a envoltória inferior das curvas de custo médio de curto prazo
(c) O custo marginal de longo prazo é sempre maior que o de curto prazo
(d) A firma não pode ajustar a escala da planta

Resposta

(b) No longo prazo, a firma escolhe a escala ótima para cada nível de produção. O CMeLP é a envoltória das curvas de CMeCP — para cada $q$, é o menor custo médio possível entre todas as escalas de planta. A alternativa (a) é falsa por definição; (c) inverte — o CMgLP é geralmente menor que o CMgCP porque há mais flexibilidade; (d) contradiz a definição de longo prazo.

5. A curva de custo total de curto prazo tem formato em S (sigmoide) porque:

(a) Os preços dos insumos variam com a quantidade produzida
(b) Inicialmente há rendimentos crescentes do fator variável (custo cresce a taxas decrescentes) e depois rendimentos decrescentes (custo cresce a taxas crescentes)
(c) Os custos fixos aumentam com a produção
(d) A firma sempre opera com excesso de capacidade

Resposta

(b) A forma em S reflete a lei dos rendimentos marginais: com pouco uso do fator variável, há ganhos de especialização (rendimentos crescentes → custo marginal decrescente); além de certo ponto, o congestionamento do fator fixo causa rendimentos decrescentes → custo marginal crescente. A alternativa (c) contradiz a definição de custos fixos.

📋 Resumo do Capítulo¶

O custo econômico difere do custo contábil por incluir o custo de oportunidade dos recursos próprios da firma (capital do proprietário, tempo do empreendedor), enquanto o custo contábil registra apenas desembolsos efetivos. Essa distinção é fundamental para avaliar corretamente a lucratividade de um negócio.
No curto prazo, a firma opera com pelo menos um insumo fixo, gerando custos fixos e variáveis. As curvas de custo marginal (CMg), custo variável médio (CVMe) e custo total médio (CTMe) possuem formato em U — reflexo da lei dos rendimentos marginais decrescentes — e se relacionam de maneira precisa: o CMg cruza o CVMe e o CTMe em seus respectivos pontos de mínimo.
No longo prazo, todos os insumos são variáveis e a firma resolve o problema de minimização de custos sujeita à restrição tecnológica, o que gera a condição de tangência entre a isocusto e a isoquanta: $\mathrm{TMST} = w/v$.
O Lema de Shephard estabelece que as demandas condicionadas por insumos podem ser obtidas como derivadas parciais da função custo em relação aos preços dos insumos, conectando a dualidade entre produção e custos.
As economias de escala e as economias de escopo explicam por que firmas maiores ou diversificadas podem ter custos médios menores, sendo conceitos centrais para a organização industrial. A curva de custo médio de longo prazo é a envoltória das curvas de curto prazo.
No contexto brasileiro, o chamado "custo Brasil" — carga tributária, logística deficiente, burocracia — representa um deslocamento para cima da curva de custos das firmas nacionais, reduzindo sua competitividade internacional.

🔑 Conceitos-Chave¶

Conceito	Definição
Custo econômico	Custo total de utilização de recursos, incluindo custos explícitos (desembolsos) e implícitos (custo de oportunidade dos recursos próprios).
Custo de oportunidade	Valor do melhor uso alternativo de um recurso; base do conceito de custo econômico.
Custo fixo (CF)	Custo que não varia com o nível de produção no curto prazo (aluguel, depreciação de equipamentos).
Custo variável (CV)	Custo que varia com o nível de produção (matéria-prima, mão de obra variável).
Custo marginal (CMg)	Acréscimo ao custo total decorrente da produção de uma unidade adicional: $\mathrm{CMg} = dCT/dq$.
Isocusto	Reta representando todas as combinações de insumos que geram o mesmo custo total: $C = wL + vK$.
Lema de Shephard	As demandas condicionadas (hicksianas) por insumos são obtidas derivando a função custo em relação ao preço de cada insumo: $L^*(w,v,q) = \partial C/\partial w$.
Economias de escala	Redução do custo médio de longo prazo à medida que a escala de produção aumenta.
Economias de escopo	Redução de custos ao produzir dois ou mais bens conjuntamente em vez de separadamente.
Curva envoltória	Curva de custo médio de longo prazo, tangente a cada curva de custo médio de curto prazo no ponto ótimo de escala de planta.

Tabela 11.2 — Conceitos-chave.

✏️ Exercícios¶

Exercício 11.1. Uma firma com função de produção Cobb-Douglas $q = K^{1/2}L^{1/2}$ enfrenta preços de insumos $w = 4$ e $v = 1$.

(a) Derive as demandas condicionadas por insumos $K^c(w, v, q)$ e $L^c(w, v, q)$.

(b) Obtenha a função custo $C(w, v, q)$.

(c) Verifique o Lema de Shephard calculando $\partial C / \partial w$ e $\partial C / \partial v$.

(d) Calcule o custo total para produzir $q = 10$.

(e) Determine o custo marginal e o custo médio e mostre que são constantes. Explique por que isso ocorre (dica: relacione com rendimentos de escala).

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Exercício 11.2. Considere a função de custo total de curto prazo $CT(q) = 100 + 10q - 2q^2 + q^3/3$.

(a) Identifique o custo fixo e o custo variável.

(b) Derive as expressões de CMe, CVMe e CMg.

(c) Encontre o nível de produção que minimiza o CMe e o nível que minimiza o CVMe.

(d) Verifique que o CMg cruza o CMe e o CVMe nos respectivos pontos de mínimo.

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Exercício 11.3. Uma firma opera com a tecnologia $q = \min\{K, 2L\}$ e enfrenta preços $v = 8$ e $w = 2$.

(a) Derive a função custo $C(q)$.

(b) Calcule CMe e CMg. São constantes? Justifique.

(c) Compare com o caso de uma Cobb-Douglas com rendimentos constantes. Em que se assemelham os custos?

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Exercício 11.4. Explique graficamente e algebricamente por que a curva de custo médio de longo prazo é a envoltória das curvas de custo médio de curto prazo. Use o caso de uma firma com função de produção $q = K^{1/3}L^{1/3}$ e preços de insumos $w = v = 1$ para:

(a) Derivar a função custo de longo prazo.

(b) Fixar $\bar{K} = 4$ e derivar a função custo de curto prazo.

(c) Mostrar que $\mathrm{CMe}_{LP}(q) \leq \mathrm{CMe}_{CP}(q; \bar{K}=4)$ para todo $q$, com igualdade em um ponto específico.

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Exercício 11.5. Uma firma produz com a tecnologia $q = AL^{\alpha}K^{\beta}$, onde $\alpha + \beta = 1$ (rendimentos constantes de escala).

(a) Mostre que a função custo é linear em $q$: $C(w, v, q) = c(w, v) \cdot q$, onde $c(w, v)$ é o custo unitário.

(b) Derive a expressão de $c(w, v)$ e mostre que ele é homogêneo de grau 1 nos preços dos insumos.

(c) Mostre que, neste caso, $\mathrm{CMg} = \mathrm{CMe} = c(w, v)$ — o custo marginal é constante e igual ao custo médio.

(d) Interprete economicamente: por que rendimentos constantes de escala implicam custos marginais constantes?

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Exercício 11.6. (Fácil) Considere a função de custo $C(q) = 100 + 4q + q^2$.

(a) Identifique o custo fixo e o custo variável.

(b) Derive as expressões de CMg, CMe e CVMe.

(c) Determine o nível de produção $q^*$ para o qual $\mathrm{CMg} = \mathrm{CMe}$. Qual o valor do custo médio nesse ponto?

(d) Interprete economicamente: o que representa o ponto $q^*$?

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Exercício 11.7. (Fácil — Verdadeiro ou Falso) Julgue cada afirmação como Verdadeira (V) ou Falsa (F) e justifique brevemente:

(a) Custos irrecuperáveis (sunk costs) devem ser levados em conta ao determinar o nível ótimo de produção corrente.

(b) A curva de custo médio de longo prazo (LRAC) está sempre abaixo de qualquer curva de custo médio de curto prazo (SRAC).

(c) Se uma tecnologia exibe rendimentos constantes de escala, então o LRAC é constante.

(d) O Lema de Shephard afirma que as demandas condicionadas por insumos são obtidas derivando a função custo em relação ao preço do respectivo insumo.

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Exercício 11.8. (Médio) Uma firma produz com a tecnologia Cobb-Douglas $q = K^{0{,}3}L^{0{,}7}$ e enfrenta preços de insumos $w = 10$ (trabalho) e $r = 20$ (capital).

(a) Derive a função custo de longo prazo $C(q)$.

(b) Calcule o custo marginal e o custo médio.

(c) Verifique o Lema de Shephard: confirme que $\partial C / \partial w = L^c(w,r,q)$ e $\partial C / \partial r = K^c(w,r,q)$.

(d) O que os rendimentos de escala implicam para o formato de $C(q)$ neste caso?

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Exercício 11.9. (Médio — Contexto Brasileiro) Um processador de soja no Brasil pode operar com duas plantas de tamanhos diferentes. A curva de custo médio de curto prazo da planta 1 (pequena) é $\mathrm{SRAC}_1(q) = 50 + 2q$ e da planta 2 (grande) é $\mathrm{SRAC}_2(q) = 200 + 0{,}5q$, onde $q$ é medido em toneladas por dia.

(a) Encontre a curva de custo médio de longo prazo (LRAC) como a envoltória inferior das duas SRACs.

(b) A partir de qual nível de produção $q^{**}$ a planta 2 se torna mais eficiente que a planta 1? Calcule o custo médio nesse ponto.

(c) Interprete economicamente: por que o processador deveria investir na planta 2 apenas quando a demanda esperada superar $q^{**}$?

(d) Como o "custo Brasil" (tributação, logística) poderia afetar esse limiar de escala eficiente?

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Exercício 11.10. (Difícil) Prove que a função custo $C(w, r, q)$ é côncava nos preços dos insumos $(w, r)$. Siga os passos:

(a) Mostre que, para qualquer $\lambda \in [0,1]$ e dois vetores de preços $(w_1, r_1)$ e $(w_2, r_2)$:

\[ C(\lambda w_1 + (1-\lambda) w_2, \; \lambda r_1 + (1-\lambda) r_2, \; q) \;\geq\; \lambda C(w_1, r_1, q) + (1-\lambda) C(w_2, r_2, q) \]

(b) Dica: Denote por $(K^*, L^*)$ a combinação ótima de insumos para o vetor de preços misturado $(\bar{w}, \bar{r}) = (\lambda w_1 + (1-\lambda)w_2, \lambda r_1 + (1-\lambda)r_2)$. Use o fato de que $C(w_i, r_i, q) \leq w_i L^* + r_i K^*$ para $i = 1, 2$ (por definição de mínimo).

(c) Interprete economicamente: o que a concavidade da função custo nos preços implica sobre o comportamento da firma frente a aumentos nos preços dos insumos?

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🏆 Vem, ANPEC!¶

ANPEC 2020 — Questão 6

Em um ano, uma empresa apresentou os seguintes dados contábeis: $ 1 milhão de receitas, $ 300 mil de compras de matérias primas, $ 30 mil de despesas com água e energia elétrica, $ 100 mil de gastos com a folha de salários e $ 120 mil de gasto com o salário do proprietário da empresa. O empresário tem a opção de fechar sua empresa e alugar as instalações por $ 200 mil por ano. Ele também tem duas ofertas de emprego: uma com salário anual de $ 90 mil e outra com salário anual de $ 150 mil. O proprietário somente pode aceitar uma dessas ofertas, caso decida fazê-lo, e seria obrigado a fechar seu negócio. Levando em conta essas informações e a teoria dos custos, indique quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas:

Item	Afirmação
0	O custo contábil anual da empresa é de $ 550 mil.
1	O custo econômico anual da empresa é de $ 780 mil.
2	O lucro econômico anual da empresa é de $ 100 mil.
3	Sendo racional, o proprietário deve continuar a operar sua empresa, pois o lucro econômico é positivo.
4	O proprietário deveria fechar a sua empresa se tivesse registrado um custo irrecuperável de $ 300 mil.

Gabarito

Respostas: V V F V F

Justificativa por item:

Item 0 — V: Custos contábeis (explícitos) = $300k (matéria-prima) + $30k (água/energia) + $100k (salários) + $120k (pró-labore) = **$550k**.
Item 1 — V: Custo de oportunidade do trabalho do proprietário: $150k (melhor oferta) − $120k (pró-labore já pago) = $30k adicional implícito. Custo de oportunidade das instalações: $200k (aluguel). Custos implícitos = $30k + $200k = $230k. Custo econômico = $550k + $230k = **$780k**.
Item 2 — F: Lucro econômico = $1.000k − $780k = **$220k**, não $100k.
Item 3 — V: Como o lucro econômico é $220k > 0, a empresa remunera todos os fatores acima de seu custo de oportunidade. O proprietário deve continuar operando.
Item 4 — F: Custos irrecuperáveis (sunk costs) não devem influenciar decisões correntes. O lucro econômico continua $220k > 0 independentemente de custos já afundados. A decisão racional é continuar operando — o custo irrecuperável é irrelevante para a decisão prospectiva (Seção 11.1).

ANPEC 2018 — Questão 5

Com relação aos custos de produção, indique quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas:

Item	Afirmação
0	Quando há níveis discretos do fator fixo, a curva de custo marginal de longo prazo será composta por trechos das curvas de custo marginal de curto prazo associados a cada nível de fator fixo.
1	No caso de uma empresa com duas fábricas, a curva de custo marginal de curto prazo da empresa é a soma vertical das curvas de custo marginal de curto prazo das duas fábricas.
2	A função de custo total quadrática do tipo $CT = aq + bq^2$ resulta em uma curva de custo marginal linear.
3	Uma função de custo total cúbica do tipo $C = aq + bq^2 + cq^3$ resulta em curvas de custo médio e marginal em forma de U.
4	Custos quase fixos independem do nível de produção, mas só precisam ser pagos se a empresa produzir uma quantidade positiva de bens.

Gabarito

Respostas: V F V V V

Justificativa por item:

Item 0 — V: Quando o capital assume apenas valores discretos ($\bar{K}_1, \bar{K}_2, \ldots$), cada nível gera uma curva de CMg de curto prazo. A curva de CMg de longo prazo é obtida selecionando, para cada nível de produto, o trecho da CMg de curto prazo correspondente ao nível de capital que minimiza o custo total — formando uma curva "composta" por segmentos das diversas CMg de curto prazo.
Item 1 — F: A soma é horizontal, não vertical. Com duas fábricas, a firma aloca produção de modo a igualar os custos marginais entre elas. Para cada nível de CMg, soma-se as quantidades produzidas nas duas fábricas — essa é a soma horizontal.
Item 2 — V: $CT = aq + bq^2 \implies CMg = a + 2bq$, que é uma função linear de $q$.
Item 3 — V: $CMe = a + bq + cq^2$ e $CMg = a + 2bq + 3cq^2$. Para os parâmetros convencionais ($b < 0, c > 0$), ambas são parábolas com concavidade para cima, gerando o formato de U clássico.
Item 4 — V: Custos quase fixos são custos que não variam com o nível de produção, mas que só existem quando a firma produz ($q > 0$). Diferem dos custos fixos tradicionais, que são incorridos mesmo com $q = 0$.

ANPEC 2022 — Questão 5

Com relação à Teoria dos Custos, julgue os itens a seguir:

Item	Afirmação
0	Uma empresa produz mensalmente um bem a partir de capital (K) e trabalho (L) de acordo com dois processos de produção do tipo Leontief (de proporções fixas): o primeiro processo é dado por $f_1(K,L) = \min\{K, L/4\}$ e o segundo processo é dado por $f_2(K,L) = \min\{K/5, L\}$. Denote por Q a quantidade mensal produzida do bem. O custo de oportunidade do capital é $v = 1$ e o do trabalho é $w = 2$. Então, a função custo da empresa é $c(Q) = 7Q$.
1	Um bem é produzido numa quantidade q a partir de capital (K) e trabalho (L), com os respectivos preços fatoriais denotados por $v > 0$ e $w > 0$. Um econometrista estimou a seguinte função de custo do tipo Cobb-Douglas: $c(v, w, q) = 2v^{5/8}w^{3/8}$. Suponha que $v = 1$ e $w = 256 = 2^8$. Então, a demanda fatorial por capital é $K = 16$.
2	Uma empresa possui função de produção dada por $f(K, L) = \sqrt{KL}$, em que K denota o capital e L o trabalho. No curto prazo, o capital está fixo em $\bar{K} = 4$. Suponha que o preço fatorial do capital é $v = 1$ e que o preço fatorial do trabalho é $w = 4$. Então, a função de custo de curto prazo é $c(q) = 4 + q^2$.
3	No curto prazo, se o preço do produto é inferior ao custo médio mínimo, então a firma necessariamente não produzirá.
4	Uma firma tem função de produção $f(K, L) = \min\{K + L, 2L\}$. Sejam $v, w > 0$ os custos de oportunidade do capital e do trabalho, respectivamente. Suponha que $v < w$. O fator trabalho está limitado a um máximo de 10 unidades. Então, a restrição sobre o trabalho só afeta a função custo da firma para níveis de produção acima de 20 unidades de produto.

Gabarito

Respostas: V F V F V

Justificativa por item:

Item 0 — V: Processo 1 usa 1K e 4L por unidade: custo unitário = $1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 9$. Processo 2 usa 5K e 1L por unidade: custo unitário = $5 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 7$. Como $7 < 9$, a firma usa apenas o processo 2 e $c(Q) = 7Q$.
Item 1 — F: Pelo Lema de Shephard: $K = \partial c / \partial v = 2 \cdot \frac{5}{8} v^{-3/8} w^{3/8} = \frac{5}{4} v^{-3/8} w^{3/8}$. Com $v = 1$ e $w = 256$: $K = \frac{5}{4} \cdot 256^{3/8} = \frac{5}{4} \cdot 8 = 10$, não 16.
Item 2 — V: $q = \sqrt{4L} = 2\sqrt{L} \implies L = q^2/4$. Custo de curto prazo: $c = v\bar{K} + wL = 4 + 4 \cdot q^2/4 = 4 + q^2$.
Item 3 — F: No curto prazo, se $P < \mathrm{CMe}_{min}$ mas $P > \mathrm{CVMe}_{min}$, a firma produz — ela cobre seus custos variáveis e parte dos custos fixos. A firma só encerra produção se $P < \mathrm{CVMe}_{min}$ (ponto de fechamento).
Item 4 — V: $f(K,L) = \min\{K+L, 2L\}$. Com $v < w$, a firma usa mais K e menos L. No ótimo: $q = 2L$, logo $L = q/2$. A restrição $L \leq 10$ se torna ativa quando $q/2 > 10$, ou seja, $q > 20$.

Item	Afirmação
0	Uma empresa produz mensalmente um bem a partir de capital (K) e trabalho (L) de acordo com dois processos de produção do tipo Leontief (de proporções fixas): o primeiro processo é dado por \(f_1(K,L) = \min\{K, L/4\}\) e o segundo processo é dado por \(f_2(K,L) = \min\{K/5, L\}\). Denote por Q a quantidade mensal produzida do bem. O custo de oportunidade do capital é \(v = 1\) e o do trabalho é \(w = 2\). Então, a função custo da empresa é \(c(Q) = 7Q\).
1	Um bem é produzido numa quantidade q a partir de capital (K) e trabalho (L), com os respectivos preços fatoriais denotados por \(v > 0\) e \(w > 0\). Um econometrista estimou a seguinte função de custo do tipo Cobb-Douglas: \(c(v, w, q) = 2v^{5/8}w^{3/8}\). Suponha que \(v = 1\) e \(w = 256 = 2^8\). Então, a demanda fatorial por capital é \(K = 16\).
2	Uma empresa possui função de produção dada por \(f(K, L) = \sqrt{KL}\), em que K denota o capital e L o trabalho. No curto prazo, o capital está fixo em \(\bar{K} = 4\). Suponha que o preço fatorial do capital é \(v = 1\) e que o preço fatorial do trabalho é \(w = 4\). Então, a função de custo de curto prazo é \(c(q) = 4 + q^2\).
3	No curto prazo, se o preço do produto é inferior ao custo médio mínimo, então a firma necessariamente não produzirá.
4	Uma firma tem função de produção \(f(K, L) = \min\{K + L, 2L\}\). Sejam \(v, w > 0\) os custos de oportunidade do capital e do trabalho, respectivamente. Suponha que \(v < w\). O fator trabalho está limitado a um máximo de 10 unidades. Então, a restrição sobre o trabalho só afeta a função custo da firma para níveis de produção acima de 20 unidades de produto.