Capítulo 9c — Jogando no Escuro: Jogos com Informação Incompleta¶
Introdução¶
Nos módulos anteriores, todos os jogadores conheciam perfeitamente a estrutura do jogo — payoffs, estratégias e número de jogadores. Na realidade, informação completa é a exceção. Uma firma entrante não sabe o custo marginal da incumbente; um licitante não conhece os valores dos concorrentes; um regulador não observa a eficiência da firma regulada.
Harsanyi (1967–68) resolveu o problema de modelar jogos com informação incompleta ao introduzir a noção de "tipos": cada jogador tem um tipo privado (sorteado pela natureza), e as crenças sobre os tipos dos outros são descritas por uma distribuição de probabilidade (prior comum). O conceito de equilíbrio correspondente é o Equilíbrio Bayesiano de Nash (BNE).
Este módulo cobre jogos bayesianos estáticos e sua principal aplicação: a teoria de leilões (Gibbons, 1992, Cap. 3).
9c.1 Informação Incompleta e Tipos¶
Jogo Bayesiano
Um jogo Bayesiano é definido por:
onde \(\Theta_i\) é o conjunto de tipos do jogador \(i\), \(u_i(s, \theta)\) é o payoff, e \(p(\theta)\) é a distribuição conjunta sobre o perfil de tipos (prior comum).
A transformação de Harsanyi converte um jogo com informação incompleta em um jogo com informação imperfeita (mas completa): a "natureza" sorteia os tipos, cada jogador observa apenas o próprio tipo, e o jogo prossegue como um jogo simultâneo em que cada tipo é tratado como um "jogador" separado.
9c.2 Equilíbrio Bayesiano de Nash¶
Equilíbrio de Nash Bayesiano
Um perfil de estratégias \(\sigma^* = (\sigma_1^*, \ldots, \sigma_n^*)\), onde \(\sigma_i^*: \Theta_i \to \Delta(S_i)\), é um BNE se, para todo \(i\) e todo \(\theta_i \in \Theta_i\):
Cada tipo de cada jogador maximiza seu payoff esperado, condicionando nas crenças sobre os tipos dos outros e nas estratégias de equilíbrio dos demais.
Intuição Econômica: Por que mentir pode ser ótimo — e quando não é
Em uma frase: Em jogos bayesianos, cada jogador usa sua informação privada para extrair vantagem, mas o equilíbrio incorpora essa assimetria.
Pense assim: Num leilão de arte, você sabe quanto o quadro vale para você, mas não para os outros. Se lancar seu valor verdadeiro num leilão de primeiro preço, paga demais quando ganha. O equilíbrio envolve bid shading — lancar abaixo do valor. Mas num leilão de segundo preço (Vickrey), lancar o valor verdadeiro é estratégia dominante!
Por que isso importa: O desenho do mecanismo (formato do leilão, regra de pagamento) determina se os participantes revelam informação verdadeira ou estratégica. A ANP e a ANEEL precisam escolher formatos que maximizem receita e eficiência nos leilões de petróleo e energia.
9c.3 Leilões de Valor Privado¶
Modelo básico: IPV (Valores Privados Independentes)¶
\(N\) licitantes com valores \(v_i\) sorteados independentemente de \(F\) no intervalo \([0, \bar{v}]\). Cada licitante conhece \(v_i\) mas não os valores dos demais.
Leilão de segundo preço (Vickrey): O licitante com o maior lance ganha e paga o segundo maior lance. Lancar \(b_i = v_i\) é estratégia fracamente dominante — não depende das crenças sobre os outros.
Demonstração: Verdade é ótimo no leilão de Vickrey
Seja \(b_i = v_i\) o lance do jogador \(i\) e \(b_{(1)}^{-i}\) o maior lance dos demais. Se \(b_i > b_{(1)}^{-i}\), \(i\) ganha e paga \(b_{(1)}^{-i}\), obtendo \(v_i - b_{(1)}^{-i} \geq 0\). Suponha que \(i\) desvie:
- Lance acima (\(b_i' > v_i\)): Ganha com mais frequência, mas nos casos extras paga \(b_{(1)}^{-i} > v_i\) — lucro negativo.
- Lance abaixo (\(b_i' < v_i\)): Perde quando \(b_i' < b_{(1)}^{-i} < v_i\) — desiste de lucro positivo.
Portanto, \(b_i = v_i\) é fracamente dominante. \(\blacksquare\)
Leilão de primeiro preço: O vencedor paga seu próprio lance. BNE simétrico com \(v_i \sim U[0, \bar{v}]\):
Cada licitante "sombreia" seu lance por um fator \((N-1)/N\). Com 2 licitantes, o lance é metade do valor; com muitos, converge para o valor verdadeiro.
Receita esperada: Com \(v_i \sim U[0, 1]\):
Teorema da Equivalência de Receita¶
Revenue Equivalence Theorem (Myerson, 1981; Riley e Samuelson, 1981)
Com licitantes simétricos, IPV, risco-neutros, e qualquer mecanismo que (i) atribui o objeto ao licitante com maior valor e (ii) dá payoff zero ao tipo mais baixo, a receita esperada do leiloeiro é a mesma.
Consequência: leilão de 1º preço, 2º preço, inglês e holandês geram a mesma receita esperada.
Quando a equivalência falha
A equivalência de receita falha com: (i) aversão ao risco (1º preço gera mais receita); (ii) assimetria entre licitantes; (iii) valores afiliados/comuns; (iv) colusão. Nesses casos, o formato do leilão importa — e o desenho ótimo de mecanismo (Myerson, 1981) se torna relevante.
Leilões de valor comum e a maldição do vencedor¶
Intuição Econômica: A maldição do vencedor
Em uma frase: Em leilões de valor comum, ganhar é uma má notícia — significa que você estimou o valor mais alto que todos.
Pense assim: Num leilão de direitos de exploração de petróleo (como os da ANP), o bloco vale o mesmo para todos, mas cada empresa tem uma estimativa diferente do volume de óleo. Quem ganha é quem estimou mais. Se todos cometem erros simétricos de estimação, o vencedor é o mais otimista — e provavelmente pagou demais.
Solução: Licitantes racionais sombreiam seus lances adicionalmente para corrigir a maldição. A magnitude do ajuste depende do número de concorrentes: mais licitantes → mais seleção adversa → mais sombreamento.
Evidência: Capen, Clapp e Campbell (1971) documentaram que empresas de petróleo no Golfo do México sistematicamente superestimaram o valor dos blocos — a maldição do vencedor em ação.
9c.4 Desenho de Mecanismos¶
Princípio da Revelação
Para qualquer mecanismo e qualquer BNE desse mecanismo, existe um mecanismo de revelação direta (onde cada agente simplesmente reporta seu tipo) em que reportar verdadeiramente é um BNE e que produz o mesmo resultado.
Implicação prática: ao buscar o mecanismo ótimo, basta considerar mecanismos de revelação direta com compatibilidade de incentivos.
O desenho de mecanismos inverte a pergunta da teoria dos jogos: em vez de "dado o jogo, qual é o equilíbrio?", pergunta-se "dado o resultado desejado, qual jogo gera esse resultado em equilíbrio?"
Box Brasil: Leilões da ANP e da ANEEL¶
Box Brasil — Leilões de petróleo e energia: quando o formato importa
O Brasil utiliza leilões em setores estratégicos onde a teoria de leilões tem aplicação direta:
Leilões de petróleo (ANP)
A Agência Nacional do Petróleo conduz rodadas de licitação para blocos exploratórios desde 1999. O formato é de oferta em envelope fechado (primeiro preço), com critérios que combinam bônus de assinatura, programa exploratório e conteúdo local.
- A maldição do vencedor é relevante: blocos do pré-sal têm valor comum (volume de óleo incerto), e empresas que superestimam o potencial pagam prêmios excessivos.
- O regime de partilha de produção (Lei 12.351/2010) para o pré-sal altera os incentivos: o bônus fixo e a oferta de excedente em óleo para a União reduzem o risco de maldição do vencedor para as empresas.
Leilões de energia (ANEEL)
A ANEEL organiza leilões de energia nova e existente para garantir o suprimento. O formato é de leilão descendente (relógio): o preço começa alto e cai até que a oferta iguale a demanda.
- O leilão descendente com múltiplos vencedores reduz a maldição do vencedor e incentiva a participação.
- Leilões de energia renovável (eólica, solar) geraram reduções de preço de 80% entre 2009 e 2023 — evidência de que a competição entre licitantes funciona.
Fonte: ANP, Rodadas de Licitação; ANEEL, Leilões de Energia.
Box Brasil: Licitações Públicas e Colusão¶
Box Brasil — Cartéis em licitações: o outro lado dos leilões
Leilões de compras governamentais (licitações) são vulneráveis a colusão entre licitantes — o oposto do que a teoria competitiva prevê.
Mecanismos de colusão
- Rotação de vencedores: firmas combinam quem ganha cada licitação, dividindo o mercado ao longo do tempo.
- Lances de cobertura (cover bidding): firmas apresentam lances propositalmente altos para dar aparência de competição enquanto uma firma pré-determinada ganha.
- Supressão de lances: algumas firmas simplesmente não participam de certas licitações.
Casos brasileiros
O CADE tem investigado cartéis em licitações de obras públicas, alimentos para merenda escolar e medicamentos. O "Cartel do Metrô de SP" (2013) envolveu construtoras que se coordenavam para dividir contratos de obras de metrô — com sobrepreço estimado em 30%.
Implicações da teoria: A colusão é mais fácil em leilões de primeiro preço do que de segundo preço (McAfee e McMillan, 1992). Leilões ascendentes (ingleses) são ainda mais vulneráveis pois permitem sinalização durante o leilão. Isso explica por que o formato do leilão é um instrumento de política antitruste.
R Interativo: Simulação de Leilões¶
R Interativo — Leilão de Valor Privado: Monte Carlo (Adams, 2025, Cap. 10)
Este box simula leilões de primeiro e segundo preço com N licitantes e valores uniformes. Compare as receitas e verifique o Teorema da Equivalência de Receita.
Exercício: Mude N de 3 para 10. O que acontece com a receita? E com o surplus do vencedor?
N (licitantes) e n_sim (simulações) para explorar o Teorema da Equivalência de Receita.Exercícios Resolvidos¶
Exercício Resolvido 9c.1 — BNE em jogo de entrada com tipos
Enunciado: Uma incumbente pode ser forte (\(\theta_F\), prob. 0,6) ou fraca (\(\theta_W\), prob. 0,4). A entrante decide se entra. Payoffs: não entra → (10, 0); entra + forte → (3, –2); entra + fraca → (2, 4).
Resolução:
Lucro esperado da entrante se entrar:
BNE: A entrante entra (independente do tipo da incumbente, pois \(E[\pi_E] > 0\)).
Se \(p > 2/3\), \(E[\pi_E] < 0\) e a entrante não entra. O ponto de indiferença é \(p^* = 2/3\).
Exercício Resolvido 9c.2 — Leilão de primeiro preço com 3 licitantes
Enunciado: Três licitantes com valores \(v_i \sim U[0, 100]\) participam de um leilão de primeiro preço. (a) Encontre a estratégia de equilíbrio. (b) Calcule a receita esperada. (c) Compare com o leilão de segundo preço.
Resolução:
(a) BNE simétrico: \(b(v) = v \cdot (N-1)/N = v \cdot 2/3\). Cada licitante faz um lance igual a 2/3 de seu valor.
(b) Receita esperada = \(E[\text{2º maior lance}]\). Com \(v \sim U[0,100]\) e \(N=3\):
(c) No leilão de segundo preço, \(b(v) = v\) e a receita esperada é a mesma (50), pelo Teorema da Equivalência. As distribuições de receita diferem — o segundo preço tem maior variância.
Exercícios¶
Exercício 9c.1. Em um jogo bayesiano 2×2, o jogador 1 tem tipo \(\theta \in \{H, L\}\) com \(\Pr(H) = 0{,}5\). O jogador 2 não tem tipo privado. Os payoffs dependem do tipo de 1. Encontre o BNE.
Exercício 9c.2. Dois licitantes com \(v_i \sim U[0, 1]\) participam de um leilão all-pay (todos pagam seu lance, apenas o maior lance ganha). Encontre o BNE simétrico e a receita esperada. Compare com o primeiro preço.
Exercício 9c.3. (Maldição do vencedor) Três empresas licitam por um bloco de petróleo cujo valor verdadeiro é \(V = 100\). Cada empresa observa um sinal \(s_i = V + \varepsilon_i\), onde \(\varepsilon_i \sim U[-20, 20]\) independentes. Se cada empresa lancar seu sinal, qual é o lucro esperado do vencedor? Como o lance ótimo deveria ser ajustado?
Vem, ANPEC!¶
ANPEC 2018 — Questão 10 (adaptada)
Considere um leilão de primeiro preço com dois licitantes cujos valores são sorteados independentemente de \(U[0, 1]\).
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 0 | A estratégia de equilíbrio simétrico é \(b(v) = v/2\). |
| 1 | A receita esperada do leiloeiro é 1/3. |
| 2 | No leilão de segundo preço, a receita esperada também é 1/3. |
| 3 | Com aversão ao risco dos licitantes, o leilão de primeiro preço gera mais receita que o de segundo. |
| 4 | A colusão é mais fácil de sustentar no leilão ascendente (inglês) do que no de envelope fechado. |
Gabarito
Respostas: 11111
- Item 0 — V: Com \(N=2\) e \(v \sim U[0,1]\), BNE: \(b(v) = v(N-1)/N = v/2\).
- Item 1 — V: \(E[R] = (N-1)/(N+1) = 1/3\).
- Item 2 — V: Revenue Equivalence Theorem.
- Item 3 — V: Com aversão ao risco, licitantes sombreiam menos no 1º preço → receita maior. A equivalência falha.
- Item 4 — V: No leilão inglês, licitantes observam os lances uns dos outros, facilitando sinalização e punição de desvios do cartel (McAfee e McMillan, 1992).
Apêndice: A Pesquisa em Ação¶
Athey, Susan, e Philip A. Haile (2007). Nonparametric Approaches to Auctions. In: Handbook of Econometrics, Vol. 6A, 3847–3965.
Contribuição: Survey abrangente sobre métodos econométricos para estimar modelos estruturais de leilões. Mostra como recuperar a distribuição de valores privados a partir de dados de lances observados — identificação não paramétrica.
Relevância: Base metodológica para análise empírica de leilões da ANP e ANEEL. Os métodos permitem testar se licitantes jogam o BNE, estimar o grau de colusão e avaliar formatos alternativos de leilão.
Myerson, Roger B. (1981). Optimal Auction Design. Mathematics of Operations Research, 6(1), 58–73.
Contribuição: Myerson derivou o leilão ótimo (que maximiza receita esperada do leiloeiro) usando o Princípio da Revelação. O resultado inclui um preço de reserva ótimo e, com assimetria, discriminação entre licitantes.
Relevância: Fundamentação teórica para o desenho de leilões governamentais. O preço de reserva — que exclui licitantes com valores baixos — aumenta a receita esperada mesmo ao risco de não vender o objeto.
Referências do Capítulo¶
- Adams, Brian W. 2025. Game Theory for Applied Econometricians. Boca Raton: CRC Press. Caps. 9–11.
- Athey, Susan, e Philip A. Haile. 2007. "Nonparametric Approaches to Auctions." In Handbook of Econometrics, Vol. 6A, 3847–3965. DOI
- Capen, Edward C., Robert V. Clapp, e William M. Campbell. 1971. "Competitive Bidding in High-Risk Situations." Journal of Petroleum Technology 23 (6): 641–653.
- Gibbons, Robert. 1992. Game Theory for Applied Economists. Princeton: Princeton University Press. Cap. 3.
- Harsanyi, John C. 1967–68. "Games with Incomplete Information Played by 'Bayesian' Players." Management Science 14 (3, 5, 7): 159–182, 320–334, 486–502.
- Krishna, Vijay. 2010. Auction Theory. 2nd ed. San Diego: Academic Press.
- McAfee, R. Preston, e John McMillan. 1992. "Bidding Rings." American Economic Review 82 (3): 579–599.
- Milgrom, Paul R. 2004. Putting Auction Theory to Work. Cambridge: Cambridge University Press.
- Myerson, Roger B. 1981. "Optimal Auction Design." Mathematics of Operations Research 6 (1): 58–73. DOI
- Riley, John G., e William F. Samuelson. 1981. "Optimal Auctions." American Economic Review 71 (3): 381–392.
- Vickrey, William. 1961. "Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders." Journal of Finance 16 (1): 8–37. DOI