Exercícios¶

🧪 Atividades de Sala de Aula¶

Atividade 9b.1 — Jogo do Ultimato com dinheiro real (20 min)

Objetivo: Confrontar a previsão teórica (proponente oferece quase nada, respondedor aceita) com o comportamento observado — e motivar a discussão sobre preferências sociais (Capítulo 8) e limites da racionalidade.

Material: Envelopes com R$ 10 em moedas de R$ 1 (ou fichas/pontos equivalentes); formulários de proposta e resposta.

Protocolo:

Formação de pares anônimos (3 min): Divida a turma em proponentes e respondedores. Pares são formados anonimamente (proponente não sabe quem é seu respondedor e vice-versa). Use números aleatórios.
Proposta (3 min): Cada proponente decide como dividir R$ 10: escreve em papel fechado "Ofereço R$ X ao respondedor, fico com R$ (10 - X)".
Resposta (3 min): Cada respondedor recebe a oferta (sem saber quem fez) e decide: Aceitar (ambos recebem conforme a divisão) ou Rejeitar (ambos recebem R$ 0).
Coleta de dados (3 min): Registre todas as ofertas e respostas. Projete a distribuição.
Debrief (8 min):
- Previsão teórica: proponente oferece R$ 0 (ou R$ 1), respondedor aceita. Quantas ofertas foram ≤ R$ 2? Quantas foram rejeitadas?
- Resultado típico: ofertas modais entre R$ 4 e R$ 5; ofertas abaixo de R$ 2 frequentemente rejeitadas.
- Discussão: "Por que respondedores rejeitam ofertas positivas (recusam dinheiro grátis)?" → Aversão à inequidade (Fehr-Schmidt, Cap. 8), punição altruísta, normas de fairness.
- "Se fossem dois bots racionais, qual seria o resultado?" → EPS por indução retroativa.
- "O que muda se o proponente sabe o nome do respondedor?" → Normas sociais, identidade, efeito do anonimato.

Conexão com o conteúdo: Jogo do ultimato (Seção 9b.3), EPS vs. comportamento observado, ponte com economia comportamental (Cap. 8). Referência: Güth, Schmittberger e Schwarze (1982), "An Experimental Analysis of Ultimatum Bargaining", Journal of Economic Behavior & Organization.

Atividade 9b.2 — Mercado de limões ao vivo (25 min)

Objetivo: Demonstrar visualmente o market unraveling de Akerlof — observar a seleção adversa destruindo o mercado em tempo real.

Material: Cartas de baralho (Ás a 10 = qualidades 1 a 10); fichas de "dinheiro"; quadro para registrar transações.

Protocolo:

Setup (5 min): Metade da turma são vendedores, metade compradores. Cada vendedor sorteia uma carta (qualidade $q$, secreta). Valor do carro para o vendedor = $q$; valor para o comprador = $1{,}5q$. Há ganhos de troca em toda transação (comprador valoriza mais).
Rodada 1 — Informação simétrica (5 min): Vendedores mostram a carta. Compradores e vendedores negociam livremente. Registre preços e qualidades transacionadas. Resultado esperado: todas as transações ocorrem a preços entre $q$ e $1{,}5q$.
Rodada 2 — Informação assimétrica (8 min): Vendedores não mostram a carta. O comprador sabe apenas a distribuição (uniforme de 1 a 10). Negociação livre. Registre o que acontece.
Debrief (7 min):
- Compare a quantidade de transações nas Rodadas 1 e 2. Na Rodada 2, carros de alta qualidade foram vendidos?
- "Quem saiu do mercado primeiro?" → Vendedores de carros bons (o preço médio era baixo demais).
- "Isso acontece no mundo real?" → Carros usados, planos de saúde individuais (Box Brasil ANS, Cap. 9d).
- "Que mecanismo poderia resolver?" → Garantias (sinalização), vistoria (certificação), obrigatoriedade (regulação).

Conexão com o conteúdo: Seleção adversa de Akerlof (Módulo 9d, Seção 9d.5), market unraveling, mecanismos de mitigação. Inspirado em Holt (2007, Cap. 24) e Bergstrom e Miller (2000, Cap. 32).

🧠 Revisão Rápida¶

Teste seu entendimento dos conceitos centrais deste capítulo.

1. O Equilíbrio Perfeito em Subjogos (EPS) refina o equilíbrio de Nash ao:

(a) Exigir que todos os jogadores usem estratégias dominantes
(b) Eliminar equilíbrios sustentados por ameaças não críveis em subjogos
(c) Permitir que jogadores revisem suas estratégias a cada rodada
(d) Garantir que o resultado seja Pareto-ótimo

Resposta

(b) O EPS exige que a estratégia de cada jogador constitua um equilíbrio de Nash em todo subjogo do jogo, eliminando ameaças que o jogador não teria incentivo a cumprir se o momento chegasse. Todo EPS é EN, mas nem todo EN é EPS. A alternativa (d) é falsa — o EPS pode ser ineficiente.

2. A indução retroativa (backward induction) resolve jogos sequenciais começando:

(a) Pelo primeiro nó de decisão e avançando para frente
(b) Pelos nós terminais, determinando a melhor ação em cada nó de trás para frente
(c) Pelo jogador com mais estratégias disponíveis
(d) Pela eliminação aleatória de estratégias dominadas

Resposta

(b) A indução retroativa começa nos nós finais da árvore do jogo, determina a ação ótima do jogador que decide por último, substitui esse nó pelo payoff resultante e recua até o início. Isso garante credibilidade em cada estágio. A alternativa (a) descreve indução progressiva, que não elimina ameaças não críveis.

3. No Folk Theorem para jogos repetidos infinitamente, a cooperação pode ser sustentada em equilíbrio se:

(a) Os jogadores são altruístas e se importam com o bem-estar dos outros
(b) O fator de desconto é suficientemente alto (jogadores são pacientes), permitindo que punições futuras disciplinem desvios presentes
(c) O jogo é jogado um número finito e conhecido de vezes
(d) Existe um mecanismo externo de enforcement

Resposta

(b) O Folk Theorem mostra que, se os jogadores são suficientemente pacientes ($\delta$ alto), qualquer payoff individualmente racional pode ser sustentado como equilíbrio do jogo repetido infinitamente, usando estratégias de punição (como trigger/grim). A alternativa (c) leva ao resultado oposto — pelo argumento de indução retroativa, a cooperação se desfaz; (a) não é necessário; (d) não é necessário quando a repetição fornece enforcement endógeno.

4. No modelo de barganha de Rubinstein com ofertas alternadas, o poder de barganha de um jogador aumenta quando:

(a) Seu fator de desconto diminui (fica mais impaciente)
(b) Seu fator de desconto aumenta (fica mais paciente) em relação ao do oponente
(c) O número total de rodadas aumenta
(d) Ambos os jogadores têm o mesmo fator de desconto

Resposta

(b) No equilíbrio de Rubinstein, o jogador mais paciente obtém uma fatia maior do excedente. Paciência ($\delta$ alto) significa que o custo de esperar é menor, o que fortalece a posição de barganha. A alternativa (a) reduz o poder; (c) é irrelevante no modelo com horizonte infinito; (d) implica divisão simétrica, não aumento de poder.

5. Em um jogo finito repetido $T$ vezes (com $T$ conhecido), o argumento de 'unraveling' (desvendamento) implica que:

(a) A cooperação é sustentável em todas as rodadas, desde que $T$ seja grande
(b) A cooperação se desfaz por indução retroativa: na última rodada não há incentivo a cooperar, logo na penúltima também não, e assim por diante
(c) Os jogadores cooperam nas primeiras rodadas e desviam apenas nas últimas
(d) O resultado depende exclusivamente do número de jogadores

Resposta

(b) Com $T$ finito e conhecido, a indução retroativa parte da rodada $T$ (onde não há futuro para punir, logo ninguém coopera), propaga para $T-1$, e assim por diante até a rodada 1. O único EPS é a repetição do EN do jogo estático em todas as rodadas. A alternativa (c) pode ocorrer com incerteza sobre $T$ ou com tipos comportamentais, mas não no modelo padrão com $T$ conhecido.

📋 Resumo do Capítulo¶

Jogos dinâmicos com informação completa envolvem jogadores que agem em sequência, podendo observar as ações anteriores. O conceito de solução central é o Equilíbrio Perfeito em Subjogos (EPS), obtido por indução retroativa.
O EPS refina o equilíbrio de Nash ao eliminar equilíbrios sustentados por ameaças não críveis — ações que o jogador não teria incentivo para executar se o momento chegasse. Todo EPS é NE, mas a recíproca é falsa.
Em jogos finitamente repetidos com equilíbrio de estágio único, a indução retroativa implica repetição do equilíbrio de estágio em todos os períodos (unraveling).
Em jogos repetidos infinitamente, a cooperação pode ser sustentada em equilíbrio via estratégias de punição (grim trigger, tit-for-tat), desde que os jogadores sejam suficientemente pacientes ($\delta \geq \delta^*$). A "sombra do futuro" é o mecanismo disciplinador.
O Folk Theorem mostra que, com $\delta$ suficientemente alto, qualquer payoff individualmente racional e factível pode ser sustentado como equilíbrio — gerando multiplicidade de equilíbrios e limitando o poder preditivo.
Na barganha de Rubinstein (ofertas alternadas), o único EPS gera uma divisão determinada pelos fatores de desconto: o jogador mais paciente obtém a maior fatia.
O comprometimento — investimento irreversível, contratos vinculantes ou reputação — é o mecanismo que torna ameaças críveis e confere vantagem estratégica. Dispositivos de comprometimento restringem as próprias opções do agente para alterar as expectativas dos demais — um princípio que se estende à escolha intertemporal (Capítulo 18).
A exigência de prova de renegociação refina os equilíbrios do Folk Theorem: estratégias de punição só são críveis se os jogadores não teriam incentivo para renegociar e retornar à cooperação durante a fase de punição.
As opções externas dos negociadores afetam o resultado da barganha quando são suficientemente atrativas para serem vinculantes — alterando o ponto de referência do acordo.

🔑 Conceitos-Chave¶

Conceito	Definição
Indução retroativa	Método de solução que resolve o jogo "de trás para frente", determinando ações ótimas a partir dos últimos nós de decisão.
Equilíbrio Perfeito em Subjogos (EPS)	Perfil de estratégias que constitui um equilíbrio de Nash em todo subjogo do jogo na forma extensiva.
Ameaça não crível	Ação que um jogador ameaça executar mas que não seria ótima no momento da decisão; eliminada pelo EPS.
Comprometimento	Ação irreversível que altera os payoffs futuros, tornando uma ameaça ou promessa crível.
Estratégia de gatilho (Grim Trigger)	Coopera enquanto todos cooperam; se alguém desvia, pune para sempre jogando a estratégia não cooperativa.
Tit-for-Tat	Coopera no primeiro período; depois copia a ação do oponente no período anterior.
Folk Theorem	Resultado que afirma que qualquer payoff factível e individualmente racional pode ser sustentado em equilíbrio de jogo repetido infinitamente com $\delta$ suficientemente alto.
Fator de desconto ($\delta$)	Medida da paciência dos jogadores ou da probabilidade de continuação do jogo; determina a viabilidade da cooperação.
Barganha de Rubinstein	Modelo de ofertas alternadas com desconto cujo único EPS gera divisão proporcional à paciência relativa dos jogadores.
Jogo do Ultimato	Jogo de barganha em que o proponente faz uma oferta e o respondedor aceita ou rejeita; o EPS prevê oferta mínima, mas experimentos mostram ofertas de 40-50%.
Dispositivo de comprometimento	Ação ou mecanismo que restringe as opções futuras do agente, tornando críveis suas ameaças ou promessas (ex.: investimento irreversível, regras fiscais, independência do Banco Central).
Prova de renegociação	Critério de refinamento que exige que a estratégia de punição não seja Pareto-dominada por um retorno à cooperação — punições que ambos os jogadores prefeririam abandonar não são críveis.
Opção externa (outside option)	Payoff disponível a um negociador fora da barganha corrente; vinculante quando excede o payoff de equilíbrio sem ela.
Payoff de minimax	Menor payoff que os demais jogadores podem impor ao jogador $i$, supondo que $i$ jogue sua melhor resposta; é o limiar inferior para payoffs sustentáveis no Folk Theorem.

Tabela 9b.2 — Conceitos-chave.

🎯 Exercícios Resolvidos¶

Exercício Resolvido 9b.1 — Grim Trigger em postos de combustíveis

Enunciado: Dois postos de combustíveis interagem repetidamente. Payoffs: se ambos mantêm preço alto (cooperam), cada um lucra R$ 8.000/mês; se ambos cortam preço (traem), cada um lucra R$ 2.000/mês; se um corta e outro mantém, o que cortou lucra R$ 12.000 e o outro lucra R$ 0. Qual o fator de desconto mínimo para sustentar cooperação com grim trigger?

Dados: $T = 12.000$, $R = 8.000$, $P = 2.000$, $S = 0$.

Resolução:

Valor presente de cooperar: $V_{\text{coop}} = 8.000/(1-\delta)$

Valor presente de desviar: $V_{\text{desvio}} = 12.000 + 2.000\delta/(1-\delta)$

Condição: $V_{\text{coop}} \geq V_{\text{desvio}}$

\[ \frac{8.000}{1-\delta} \geq 12.000 + \frac{2.000\delta}{1-\delta} \]

\[ 8.000 - 2.000\delta \geq 12.000(1-\delta) \implies 10.000\delta \geq 4.000 \implies \delta \geq 0{,}4 \]

Pela fórmula: $\delta^* = (T-R)/(T-P) = 4.000/10.000 = 0{,}4$. ✓

Interpretação: $\delta^* = 0{,}4$ é baixo, indicando que a cooperação é fácil de sustentar — consistente com a prevalência de cartéis no setor. Com interação diária, o fator efetivo é próximo de 1, muito acima de 0,4. Isso explica por que o CADE precisa intervir ativamente.

Exercício Resolvido 9b.2 — Barganha de Rubinstein

Enunciado: Dois agentes negociam a divisão de R$ 1 milhão com ofertas alternadas. O jogador 1 (proponente) tem $\delta_1 = 0{,}9$ e o jogador 2 (respondedor) tem $\delta_2 = 0{,}8$. Encontre a divisão no EPS.

Resolução:

No EPS de Rubinstein:

\[ x_1^* = \frac{1 - \delta_2}{1 - \delta_1\delta_2} = \frac{1 - 0{,}8}{1 - 0{,}72} = \frac{0{,}2}{0{,}28} \approx 0{,}714 \]

\[ x_2^* = 1 - x_1^* \approx 0{,}286 \]

Resultado: Jogador 1 (mais paciente) fica com ≈ R$ 714.000 e jogador 2 fica com ≈ R$ 286.000.

Interpretação: A paciência confere poder na barganha. O jogador 1, com $\delta_1 = 0{,}9 > \delta_2 = 0{,}8$, obtém uma fatia 2,5 vezes maior. No caso simétrico ($\delta_1 = \delta_2 = 0{,}9$), a divisão seria $1/(1+0{,}9) \approx 52{,}6\%$ vs $47{,}4\%$ — a vantagem do proponente (first-mover).

Exercício Resolvido 9b.3 — Cooperação com punição temporária (Tit-for-Two-Tats)

Enunciado: Dois duopolistas jogam o Dilema dos Prisioneiros repetido infinitamente com payoffs $T = 10$, $R = 6$, $P = 2$, $S = 0$ e fator de desconto $\delta$. Considere a estratégia "Tit-for-Two-Tats" (TF2T): coopere no primeiro período; só puna (jogue D) se o oponente desviou nos dois últimos períodos consecutivos; caso contrário, coopere.

(a) Qual é o $\delta^*$ mínimo para sustentar cooperação com TF2T?

(b) Compare com o grim trigger e o tit-for-tat padrão. Qual estratégia é mais "permissiva"?

(c) Discuta a vantagem da TF2T em termos de prova de renegociação.

Resolução:

(a) Com TF2T, um desvio isolado em um período não é punido (o oponente "perdoa" um desvio). Para explorar a TF2T, o jogador precisa desviar em dois períodos consecutivos. O desvio mais lucrativo é:

Período $t$: desviar → ganho $T = 10$ (em vez de $R = 6$).
Período $t+1$: desviar novamente → ganho $T = 10$ (o oponente ainda coopera, pois foi apenas um desvio).
Período $t+2$ em diante: punição ativada, oponente joga D. Retornando à cooperação após a punição.

Na verdade, com TF2T, após dois desvios consecutivos, o oponente pune por um período. O fluxo de payoffs do desvio ótimo (desviar uma vez e voltar a cooperar) é:

\[ V_{\text{desvio}} = 10 + \frac{6\delta}{1-\delta} \]

pois um único desvio não ativa punição. Para que a cooperação seja sustentável, precisamos que nenhum padrão de desvios seja lucrativo. O desvio permanente (desviar para sempre) dá:

\[ V_{\text{desvio permanente}} = 10 + 10\delta + \frac{2\delta^2}{1-\delta} \]

(dois períodos de $T = 10$ pois no segundo o oponente ainda coopera, depois punição perpétua).

Cooperação: $V_{\text{coop}} = 6/(1-\delta)$.

A condição vinculante é contra o desvio permanente:

\[ \frac{6}{1-\delta} \geq 10 + 10\delta + \frac{2\delta^2}{1-\delta} \]

\[ 6 \geq 10(1-\delta) + 10\delta(1-\delta) + 2\delta^2 = 10 - 10\delta + 10\delta - 10\delta^2 + 2\delta^2 \]

\[ 6 \geq 10 - 8\delta^2 \implies 8\delta^2 \geq 4 \implies \delta \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 \]

(b) Com grim trigger: $\delta^* = (T-R)/(T-P) = 4/8 = 0{,}5$. Com tit-for-tat padrão: $\delta^* = 0{,}5$ (mesma fórmula). Com TF2T: $\delta^* \approx 0{,}707$.

A TF2T é mais exigente em termos de paciência — requer $\delta$ mais alto para sustentar cooperação, porque a punição é mais branda (tolera um desvio), o que reduz a deterrência.

(c) A vantagem da TF2T é que ela é mais robusta a erros e mais crível como punição. Numa relação comercial real, é implausível que uma empresa abandone permanentemente a cooperação por causa de um único desvio (que poderia ser um erro ou um choque temporário). A TF2T filtra esses "ruídos" e só pune padrões consistentes de não-cooperação. Em termos de prova de renegociação, a punição da TF2T (um período de D) é temporária e proporcional, não envolvendo destruição mútua perpétua — é mais crível que a punição do grim trigger, que nenhum par de jogadores racionais manteria voluntariamente.

✏️ Exercícios¶

Exercício 9b.1. (Credibilidade de ameaças) Considere o jogo de entrada com 3 estágios: (1) E decide se entra; (2) I decide se investe K em capacidade; (3) se E entrou, I decide se luta ou acomoda.

Payoffs sem investimento: como no exemplo da Seção 9b.1. Payoffs com investimento: se E entra e I luta, I obtém 0 (em vez de –1); o custo K reduz o payoff de I quando não luta em 1.

(a) Para que valores de K a ameaça de lutar se torna crível?

(b) Encontre o EPS para K que torna a ameaça crível.

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Exercício 9b.2. (Tit-for-Tat) No Dilema dos Prisioneiros repetido com payoffs $T = 5$, $R = 3$, $P = 1$, $S = 0$:

(a) Mostre que a cooperação com Tit-for-Tat requer $\delta \geq (T-R)/(T-P) = 2/4 = 1/2$.

(b) Compare com o grim trigger. Qual estratégia requer menor $\delta^*$?

(c) Discuta as vantagens do Tit-for-Tat à luz dos torneios de Axelrod (1984).

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Exercício 9b.3. (Barganha) Dois sindicatos negociam com uma empresa. O sindicato A tem $\delta_A = 0{,}95$ e o sindicato B tem $\delta_B = 0{,}7$. Qual sindicato obtém um acordo melhor no modelo de Rubinstein? Quantifique.

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Exercício 9b.4. (Conluio com N firmas) Mostre que no Cournot repetido infinitamente com $N$ firmas simétricas, a cooperação requer $\delta \geq \frac{(N-1)^2(N+1)^2}{(N+1)^4 - 16N^2}$. Para $N = 2$, qual é $\delta^*$? E para $N = 10$?

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Exercício 9b.5. (Fácil — Indução retroativa num jogo de entrada em 2 estágios) Uma firma entrante (E) decide se entra num mercado. Se entrar, a incumbente (I) decide se luta ou acomoda. Os payoffs são os seguintes:

E não entra: $(0, 10)$
E entra, I acomoda: $(4, 4)$
E entra, I luta: $(-2, -2)$

(a) Represente o jogo na forma extensiva (árvore) e identifique todos os subjogos.

(b) Encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo (em forma normal).

(c) Aplique indução retroativa e identifique o único EPS. Qual ameaça é eliminada?

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Exercício 9b.6. (Fácil — EPS em barganha sequencial de 2 rodadas) Dois agentes negociam a divisão de R$ 100. Na rodada 1, o agente A propõe uma divisão $(x, 100-x)$. Se B aceita, o jogo termina. Se B rejeita, na rodada 2 o agente B propõe $(y, 100-y)$; A aceita ou rejeita (se A rejeita, ambos recebem 0). Ambos têm fator de desconto $\delta = 0{,}8$ (o valor do acordo diminui em 20% a cada rodada rejeitada).

(a) Resolva por indução retroativa, começando pela rodada 2.

(b) Qual é a oferta de equilíbrio de A na rodada 1?

(c) Como muda a divisão se $\delta$ cai para 0,5? Interprete economicamente.

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Exercício 9b.7. (Médio — Dilema dos Prisioneiros finitamente repetido) Dois concorrentes jogam o seguinte Dilema dos Prisioneiros exatamente $T = 3$ vezes:

	C	D
C	$(3, 3)$	$(0, 5)$
D	$(5, 0)$	$(1, 1)$

(a) Usando indução retroativa, mostre que o único EPS prescreve (D, D) em todos os 3 períodos.

(b) Agora suponha que no período 3, além de (D, D), existe um segundo equilíbrio de estágio $(C, C)$ com payoff $(3, 3)$ — por exemplo, por efeitos reputacionais externos. Como isso afeta a possibilidade de cooperação nos períodos 1 e 2? (Discuta qualitativamente, com base em Benoit e Krishna, 1985.)

(c) Quantos EPS existem no jogo finitamente repetido do item (a)?

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Exercício 9b.8. (Médio — Brasil — Sustentabilidade do conluio com taxa Selic) Duas distribuidoras de combustível interagem mensalmente. Os payoffs mensais (em R$ mil) são: cooperar = (50, 50); desviar unilateralmente = (80, 0) ou (0, 80); punição mútua permanente = (20, 20).

(a) Qual é o $\delta^*$ mínimo para sustentar cooperação com grim trigger?

(b) Com a taxa Selic a 13,75% a.a. (pico de 2023), calcule o fator de desconto mensal $\delta = 1/(1 + r_{\text{mensal}})$ e verifique se a cooperação é sustentável.

(c) Com a Selic a 10,5% a.a. (referência de 2024), recalcule $\delta$ e compare. Taxas de juros mais baixas facilitam ou dificultam o conluio? Discuta as implicações para a política antitruste.

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Exercício 9b.9. (Difícil — Barganha de Rubinstein com paciência assimétrica) Dois agentes negociam a divisão de um bolo de tamanho 1 com ofertas alternadas. O agente 1 (proponente ímpar) tem fator de desconto $\delta_1$ e o agente 2 (proponente par) tem $\delta_2$, com $\delta_1 \neq \delta_2$.

(a) Derive o único EPS de Rubinstein usando as condições de indiferença: o respondedor deve ser indiferente entre aceitar e rejeitar em equilíbrio. Mostre que as equações de ponto fixo levam à fórmula \eqref{eq:9b.2}.

(b) Calcule a divisão para $\delta_1 = 0{,}9$ e $\delta_2 = 0{,}5$. Quem tem maior poder de barganha?

(c) Mostre que quando $\delta_1 = \delta_2 = \delta$, a vantagem do proponente desaparece quando $\delta \to 1$. Qual é a interpretação econômica desse limite?

(d) Aplicação: Uma negociação trabalhista no Brasil tem $\delta_{\text{sind}} = 0{,}95$ (sindicato com fundo de greve robusto) e $\delta_{\text{emp}} = 0{,}7$ (empresa com estoque baixo e demanda aquecida). Qual fração do excedente o sindicato captura se ele propõe primeiro? E se a empresa propõe primeiro?

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Exercício 9b.10. (Difícil — Dilema dos Prisioneiros finitamente repetido com horizonte incerto) Dois jogadores jogam o Dilema dos Prisioneiros com payoffs $T = 8$, $R = 5$, $P = 1$, $S = 0$. O jogo é repetido, mas após cada período há uma probabilidade $p$ de que o jogo termine (e $1-p$ de que continue).

(a) Mostre que o fator de desconto efetivo é $\delta_{\text{ef}} = \delta(1-p)$, onde $\delta$ é o fator de desconto puro. Derive a condição para sustentabilidade da cooperação com grim trigger em termos de $\delta$ e $p$.

(b) Se $\delta = 0{,}95$, qual é a probabilidade máxima de término $p^*$ que ainda permite sustentar cooperação?

(c) Interprete o resultado: em mercados onde há alta probabilidade de saída de concorrentes (p alto), o conluio é mais ou menos estável? Relacione com a concentração do mercado de cimento no Brasil, onde poucas firmas operam com horizonte de longo prazo.

Ver solução

🏆 Vem, ANPEC!¶

ANPEC 2010 — Questão 10

Considere o jogo "caça ao cervo":

	Caçador 2: Cervo	Caçador 2: Lebre
Caçador 1: Cervo	$(3, 3)$	$(x, 1)$
Caçador 1: Lebre	$(1, x)$	$(1, 1)$

com $0 \leq x < 1$. Avalie:

Item	Afirmação
0	Trata-se de um jogo de informação imperfeita.
1	Há dois equilíbrios de Nash.
2	Os dois caçadores possuem estratégias fracamente dominantes.
3	Se $x = 0$, o equilíbrio misto prescreve Cervo com probabilidade $1/3$.
4	Se $x \to 1$, o equilíbrio misto converge para o EN Pareto-dominado (Lebre, Lebre).

Gabarito

Respostas: 11011

Item 0 — V: Jogos simultâneos são de informação imperfeita (cada jogador desconhece a ação do outro no momento da decisão).
Item 1 — V: Dois EN em puras: (Cervo, Cervo) e (Lebre, Lebre). Em ambos, nenhum desvia ($3 > 1$ e $1 > x$).
Item 2 — F: Nenhuma estratégia é dominante. Cervo é melhor se o outro joga Cervo ($3 > 1$), mas Lebre é melhor se o outro joga Lebre ($1 > x$).
Item 3 — V: Com $x=0$: $U_2(\text{Cervo}; p) = 3p$, $U_2(\text{Lebre}; p) = 1$. Igualando: $p = 1/3$.
Item 4 — V: Probabilidade de Cervo: $p = (1-x)/(3-x)$. Quando $x \to 1$: $p \to 0$, convergindo para (Lebre, Lebre).

ANPEC — Jogos dinâmicos, EPS e jogos repetidos

Considere jogos dinâmicos com informação completa. Avalie as afirmações:

Item	Afirmação
0	Em todo jogo finito com informação perfeita, a indução retroativa identifica pelo menos um Equilíbrio Perfeito em Subjogos.
1	No Dilema dos Prisioneiros repetido infinitamente, a cooperação pode ser sustentada como EPS para qualquer valor do fator de desconto $\delta \in (0,1)$.
2	No modelo de barganha de Rubinstein com fatores de desconto simétricos $\delta_1 = \delta_2 = \delta$, o jogador que propõe primeiro sempre obtém mais do que metade do excedente, para qualquer $\delta \in (0,1)$.
3	O Folk Theorem garante que, em jogos infinitamente repetidos com $\delta$ suficientemente alto, qualquer perfil de payoffs factível e individualmente racional pode ser sustentado como equilíbrio.
4	No Dilema dos Prisioneiros repetido finitamente (com horizonte $T$ conhecido), o único EPS é a repetição do equilíbrio de Nash do jogo de estágio em todos os $T$ períodos, desde que o jogo de estágio tenha equilíbrio de Nash único.

Gabarito

Respostas: 10111

Item 0 — V: Pelo Teorema de Kuhn, todo jogo finito com informação perfeita possui pelo menos um EPS, identificável por indução retroativa. Se os payoffs são genéricos (sem empates), o EPS é único.
Item 1 — F: A cooperação exige $\delta \geq \delta^* = (T-R)/(T-P)$. Para $\delta < \delta^*$, a cooperação não é sustentável — o ganho imediato da traição supera a perda futura da punição. Portanto, não é para qualquer $\delta$, mas apenas para $\delta$ suficientemente alto.
Item 2 — V: Com $\delta_1 = \delta_2 = \delta$, o proponente obtém $x_1^* = 1/(1+\delta)$. Como $\delta \in (0,1)$, temos $1+\delta \in (1,2)$, logo $x_1^* \in (1/2, 1)$. O proponente sempre obtém mais da metade — é a "vantagem do primeiro movimento" (first-mover advantage). A vantagem diminui quando $\delta \to 1$ (convergência para 50/50) mas nunca desaparece para $\delta < 1$.
Item 3 — V: Essa é a afirmação central do Folk Theorem (Fudenberg e Maskin, 1986). A versão para EPS requer $\delta$ suficientemente próximo de 1 e que a dimensão do conjunto de payoffs factíveis seja adequada, mas a afirmação geral é verdadeira.
Item 4 — V: Com jogo de estágio que possui equilíbrio de Nash único, a indução retroativa a partir do período $T$ implica que o equilíbrio de estágio é jogado em todos os períodos. Esse é o resultado clássico de unraveling. A condição crucial é que o equilíbrio de estágio seja único — com múltiplos equilíbrios (Benoit e Krishna, 1985), a cooperação pode emergir mesmo em jogos finitos.

	C	D
C	\((3, 3)\)	\((0, 5)\)
D	\((5, 0)\)	\((1, 1)\)

Item	Afirmação
0	Em todo jogo finito com informação perfeita, a indução retroativa identifica pelo menos um Equilíbrio Perfeito em Subjogos.
1	No Dilema dos Prisioneiros repetido infinitamente, a cooperação pode ser sustentada como EPS para qualquer valor do fator de desconto \(\delta \in (0,1)\).
2	No modelo de barganha de Rubinstein com fatores de desconto simétricos \(\delta_1 = \delta_2 = \delta\), o jogador que propõe primeiro sempre obtém mais do que metade do excedente, para qualquer \(\delta \in (0,1)\).
3	O Folk Theorem garante que, em jogos infinitamente repetidos com \(\delta\) suficientemente alto, qualquer perfil de payoffs factível e individualmente racional pode ser sustentado como equilíbrio.
4	No Dilema dos Prisioneiros repetido finitamente (com horizonte \(T\) conhecido), o único EPS é a repetição do equilíbrio de Nash do jogo de estágio em todos os \(T\) períodos, desde que o jogo de estágio tenha equilíbrio de Nash único.

	Caçador 2: Cervo	Caçador 2: Lebre
Caçador 1: Cervo	\((3, 3)\)	\((x, 1)\)
Caçador 1: Lebre	\((1, x)\)	\((1, 1)\)