Capítulo 9b — Pensando de Trás para Frente: Jogos Dinâmicos com Informação Completa¶
Introdução¶
No módulo anterior (9a), todos os jogadores escolhiam suas ações simultaneamente. Muitas interações econômicas, porém, ocorrem em sequência: uma firma investe primeiro e a concorrente reage; um sindicato apresenta uma proposta e a empresa aceita ou recusa; um banco central anuncia uma meta e os agentes privados ajustam expectativas.
Quando as ações são observáveis e o jogo se desenrola ao longo do tempo, o conceito de equilíbrio de Nash pode sustentar resultados baseados em ameaças não críveis — promessas de ações que o jogador não teria incentivo para cumprir se o momento chegasse. O remédio é pensar "de trás para frente": a indução retroativa e o conceito de Equilíbrio Perfeito em Subjogos (EPS).
Este módulo cobre jogos sequenciais, jogos repetidos (finitos e infinitos) e barganha, completando a análise de informação completa da taxonomia de Gibbons (1992, Caps. 2).
9b.1 Jogos Sequenciais e Indução Retroativa¶
Forma extensiva e indução retroativa¶
Nos jogos sequenciais, os jogadores se movem em ordem cronológica, e jogadores posteriores podem observar as ações dos anteriores. O conceito de solução apropriado é a indução retroativa (backward induction): resolve-se o jogo "de trás para frente", determinando as ações ótimas nos últimos nós de decisão e retrocedendo até o início.
Equilíbrio Perfeito em Subjogos (EPS)
Um perfil de estratégias constitui um Equilíbrio Perfeito em Subjogos se induz um equilíbrio de Nash em todo subjogo do jogo na forma extensiva.
Formalmente, um subjogo é qualquer parte do jogo que: (i) começa em um nó de decisão que é um conjunto de informação unitário (singleton); (ii) contém todos os sucessores desse nó; (iii) não "corta" nenhum conjunto de informação.
O EPS é um refinamento do equilíbrio de Nash: todo EPS é um equilíbrio de Nash, mas nem todo equilíbrio de Nash é perfeito em subjogos. O EPS elimina equilíbrios sustentados por ameaças não críveis em subjogos fora do caminho de equilíbrio.
Intuição Econômica: Por que o último jogador tem poder
Em uma frase: Indução retroativa significa pensar "de trás para frente" — primeiro o que acontece no final, depois o que é racional fazer no início.
Pense assim: Quando uma grande rede de supermercados ameaça derrubar preços para expulsar um mercadinho de bairro, o mercadinho precisa avaliar: essa ameaça é crível? Se a guerra de preços der prejuízo também para a rede, ela não vai cumprir a ameaça. Pensar de trás para frente revela quais ameaças são blefe.
Por que isso importa: O CADE usa essa lógica ao analisar se barreiras à entrada são reais ou apenas ameaças vazias de empresas dominantes. A credibilidade da ameaça — não apenas sua existência — é o que determina o resultado do jogo.
O paradoxo da credibilidade: Para que uma ameaça funcione, ela não pode ser executada em equilíbrio. Se o rival acredita na ameaça e não entra, a ameaça nunca é testada. Mas se ela não seria executada caso fosse testada, por que o rival acreditaria? Esse é o papel do comprometimento (Schelling, 1960).
Exemplo: Jogo de entrada¶
Jogo de entrada (deterrência)
A firma entrante (E) decide se entra ou não. Se E entra, a firma incumbente (I) decide se luta (L) ou acomoda (A).
Payoffs: Se E não entra: \((0, 2)\). Se E entra e I acomoda: \((1, 1)\). Se E entra e I luta: \((-1, -1)\).
Equilíbrios de Nash: (Não entra, Luta) e (Entra, Acomoda). Porém, no primeiro equilíbrio a ameaça de I de lutar não é crível: no subjogo após a entrada, Lutar dá \(-1\) a I, enquanto Acomodar dá \(1\). Logo, por indução retroativa, o único EPS é (Entra, Acomoda).
A ameaça "se você entrar, eu luto" não é crível porque, no momento em que I precisa decidir, lutar é pior do que acomodar. O EPS descarta esse equilíbrio.
Comprometimento e vantagem estratégica¶
A impossibilidade de ameaças não críveis pode ser contornada pelo comprometimento:
- Investimento irreversível em capacidade: se I investe em uma fábrica grande antes da decisão de entrada, o custo de lutar cai (a capacidade já existe), tornando a ameaça crível.
- Contratos vinculantes: cláusulas de "preço mais baixo garantido" comprometem a firma a igualar preços, alterando os payoffs do jogo.
- Reputação: em jogos repetidos com múltiplos entrantes, lutar contra o primeiro pode ser racional para estabelecer reputação de dureza.
9b.2 Jogos Repetidos¶
Quando um jogo é jogado repetidamente entre os mesmos jogadores, a possibilidade de punição futura pode sustentar a cooperação em equilíbrio, mesmo quando o jogo de estágio tem um único equilíbrio não cooperativo.
Jogos finitamente repetidos¶
Se o Dilema dos Prisioneiros é repetido um número finito \(T\) de vezes (e isso é conhecimento comum), a indução retroativa a partir do período \(T\) implica que o único EPS é a repetição do equilíbrio de estágio (Trair, Trair) em todos os períodos.
Unraveling e exceções
O resultado de "desvendamento" (unraveling) é forte mas depende de hipóteses restritivas: (i) jogo de estágio com equilíbrio único; (ii) horizonte finito conhecido. Se o jogo de estágio tem múltiplos equilíbrios (como BoS), ou se há incerteza sobre o horizonte, a cooperação pode ser sustentada mesmo em jogos finitos (Benoit e Krishna, 1985).
Jogos infinitamente repetidos¶
Se o jogo é repetido infinitamente (ou com probabilidade de continuação \(\delta\) a cada período), a cooperação pode ser sustentada como equilíbrio.
Estratégia de gatilho (Grim Trigger)
A estratégia de gatilho prescreve: coopere no primeiro período e continue cooperando enquanto todos cooperarem. Se qualquer jogador desviar, puna jogando a estratégia não cooperativa para sempre.
No Dilema dos Prisioneiros repetido infinitamente com fator de desconto \(\delta \in (0,1)\) e payoffs \(T > R > P > S\), a cooperação é sustentável pela estratégia de gatilho se e somente se:
O fator de desconto \(\delta\) pode ser interpretado como a "paciência" dos jogadores ou a probabilidade de que o jogo continue.
Intuição Econômica: Cooperação sem contrato — o papel do δ
Em uma frase: Cooperação emerge quando a sombra do futuro é longa o suficiente para que a punição por trair supere o ganho imediato.
Pense assim: Dois vizinhos que se encontram todo dia no elevador cooperam mais do que dois desconhecidos que interagem uma única vez. O vizinho sabe que se agir de forma oportunista hoje, enfrentará a hostilidade do outro por anos. É o mesmo princípio que sustenta o conluio tácito entre postos de gasolina: a interação repetida e a facilidade de monitoramento (preços em totens) criam as condições para cooperação.
Quando a cooperação falha:
- Horizonte curto (\(\delta\) baixo): governadores com mandatos de 4 anos têm incentivo para atrair investimentos com guerra fiscal (ICMS), sem internalizar os custos de longo prazo.
- Monitoramento difícil: cartéis em mercados com preços opacos ou transações customizadas são mais frágeis.
- Muitos jogadores: quanto mais firmas no mercado, mais difícil sustentar cooperação (cada uma ganha menos com cooperação e a detecção de desvios é mais lenta).
Folk Theorem¶
Folk Theorem (versão informal)
Em jogos infinitamente repetidos com fator de desconto suficientemente próximo de 1, qualquer payoff individualmente racional e factível pode ser sustentado como equilíbrio de Nash do jogo repetido.
Um payoff é individualmente racional para o jogador \(i\) se é pelo menos tão bom quanto seu payoff de minimax. Um payoff é factível se pertence ao fecho convexo dos payoffs realizáveis do jogo de estágio.
Implicações do Folk Theorem
O Folk Theorem é simultaneamente poderoso e problemático. Poderoso porque mostra que a repetição pode resolver dilemas de cooperação. Problemático porque gera uma multiplicidade enorme de equilíbrios — praticamente qualquer resultado razoável pode ser sustentado, o que limita o poder preditivo da teoria.
Estratégias de punição alternativas¶
Além do grim trigger, existem estratégias mais sofisticadas:
| Estratégia | Descrição | \(\delta^*\) | Vantagem | Desvantagem |
|---|---|---|---|---|
| Grim Trigger | Coopera até primeiro desvio, depois pune para sempre | \(\frac{T-R}{T-P}\) | Máxima deterrência | Punição desproporcional; não perdoa erros |
| Tit-for-Tat | Coopera no 1º período; depois copia a ação do oponente no período anterior | \(\frac{T-R}{T-P}\) | Simples, "perdoa"; venceu os torneios de Axelrod | Vulnerável a erros; ciclos de retaliação |
| Win-Stay, Lose-Shift | Mantém a ação se o payoff foi bom, muda se foi ruim | Variável | Autocorreção | Pode não ser EPS |
9b.3 Barganha¶
O Jogo do Ultimato¶
O jogo mais simples de barganha: o jogador 1 (proponente) oferece uma divisão \(x\) de um bolo de tamanho 1. O jogador 2 (respondedor) aceita ou rejeita. Se aceita, payoffs são \((x, 1-x)\). Se rejeita, ambos recebem 0.
Equilíbrio Perfeito em Subjogos: No subjogo após qualquer oferta \(x\), o respondedor aceita (pois \(1-x \geq 0\)). Antecipando isso, o proponente oferece \(x = 1\) (fica com tudo).
Teoria vs. Evidência
A previsão teórica — proponente oferece quase nada, respondedor aceita — é sistematicamente rejeitada em experimentos. Ofertas modais são 40-50% do bolo, e ofertas abaixo de 20% são frequentemente rejeitadas. Isso motivou modelos de preferências sociais (Fehr-Schmidt, Módulo 8) e de racionalidade limitada.
Barganha de Rubinstein (ofertas alternadas)¶
Dois jogadores alternam propostas com fator de desconto \(\delta \in (0,1)\). No período 1, o jogador 1 propõe; se 2 rejeita, no período 2 o jogador 2 propõe; e assim por diante.
O único EPS (Rubinstein, 1982) é:
Quando \(\delta_1 = \delta_2 = \delta\):
Intuição Econômica: Paciência é poder na barganha
Em uma frase: Na barganha de Rubinstein, quem é mais paciente (maior \(\delta\)) fica com a maior fatia.
Pense assim: Numa negociação salarial entre o sindicato dos metalúrgicos e uma montadora, cada rodada sem acordo custa para ambos (trabalhadores perdem salário, empresa perde produção). Quem aguenta mais tempo sem acordo — quem tem mais "reservas" — consegue extrair mais valor.
Limite: Quando \(\delta \to 1\) (ambos muito pacientes), a divisão converge para 50/50 — o resultado "justo". Quando \(\delta \to 0\) (ambos impacientes), o proponente fica com quase tudo — como no jogo do ultimato.
Conexão com Nash Bargaining: Rubinstein (1982) mostrou que o EPS de ofertas alternadas converge para a solução de barganha de Nash quando o intervalo entre ofertas vai a zero — uma fundamentação não cooperativa para o modelo cooperativo.
Box Brasil: Guerra Fiscal do ICMS como Jogo Repetido¶
Box Brasil — A guerra fiscal do ICMS: uma corrida ao fundo
A competição entre estados brasileiros pela atração de investimentos via benefícios fiscais no ICMS é um dos exemplos mais claros do Dilema dos Prisioneiros na política econômica brasileira.
A estrutura do jogo
| Estado B: Não concede | Estado B: Concede | |
|---|---|---|
| Estado A: Não concede | \((100, 100)\) | \((60, 120)\) |
| Estado A: Concede | \((120, 60)\) | \((70, 70)\) |
Conceder incentivos é estratégia dominante. O resultado (70, 70) é Pareto-dominado por (100, 100).
Por que a cooperação falhou?
Usando os payoffs acima: \(\delta^* = (T-R)/(T-P) = (120-100)/(120-70) = 0{,}4\). Bastaria \(\delta \geq 0{,}4\) para sustentar cooperação com grim trigger — um limiar baixo! Então por que a guerra fiscal persiste?
- Horizonte curto dos governadores: mandatos de 4 anos geram \(\delta\) efetivo baixo (desconto político é altíssimo).
- Confaz fraco: o mecanismo de enforcement (unanimidade para novos benefícios) foi sistematicamente violado.
- Assimetria entre estados: estados menores ganham mais com o desvio, pois atraem investimentos proporcionalmente maiores.
A Reforma Tributária como mudança de regras do jogo
A EC 132/2023 (IBS com alíquota uniforme e cobrança no destino) não tenta sustentar cooperação no jogo existente — ela redesenha o jogo eliminando o instrumento (ICMS na origem) que permitia a concessão unilateral de benefícios.
Box Brasil: Negociação Salarial na Indústria Automotiva¶
Box Brasil — Metalúrgicos vs. Montadoras: barganha à brasileira
As negociações salariais anuais entre o Sindicato dos Metalúrgicos do ABC e as montadoras (Volkswagen, Mercedes-Benz, Toyota) são um exemplo clássico de barganha com ofertas alternadas.
Estrutura da barganha
- O sindicato apresenta uma pauta de reivindicações (reajuste + PLR + benefícios).
- A empresa contrapropõe.
- Se não há acordo, pode haver greve (custo para ambos: trabalhadores perdem salários, empresa perde produção).
- Rodadas se sucedem até o acordo.
Fatores que afetam o poder de barganha (\(\delta\))
| Fator | Efeito sobre o sindicato | Efeito sobre a empresa |
|---|---|---|
| Fundo de greve | Aumenta \(\delta_{\text{sind}}\) | — |
| Estoques altos | — | Aumenta \(\delta_{\text{emp}}\) |
| Desemprego alto | Reduz \(\delta_{\text{sind}}\) | — |
| Demanda aquecida | — | Reduz \(\delta_{\text{emp}}\) |
Dados recentes
Em 2024, o Sindicato dos Metalúrgicos do ABC negociou reajuste de 5,5% (inflação + ganho real) com a Volkswagen, após duas rodadas de negociação — consistente com o modelo de Rubinstein onde o proponente com informação sobre o custo do atraso faz uma oferta próxima do EPS logo na primeira rodada.
Fonte: DIEESE, Subsistema de Negociações Coletivas; Sindicato dos Metalúrgicos do ABC.
R Interativo: Ultimatum Game — Evidência Experimental¶
R Interativo — Ultimatum Game: teoria vs. experimento (Adams, 2025, Cap. 8)
O jogo do ultimato é um dos mais estudados em economia experimental. A previsão teórica (oferta mínima, aceitação total) é sistematicamente violada: ofertas modais são 40-50% e ofertas abaixo de 20% são frequentemente rejeitadas.
Andersen et al. (2011) realizaram experimentos na Índia com stakes variando de US$ 0,50 a US$ 200 (até 8 meses de salário local). Com stakes muito altos, as ofertas convergem para a previsão teórica — sugerindo que preferências por fairness têm um preço.
R Interativo: Conluio em Postos de Gasolina¶
R Interativo — Dinâmica de preços e conluio em Perth (Adams, 2025, Cap. 7)
Wang (2009) e Clark e Roos (2019) documentaram padrões de preços cíclicos ("Edgeworth cycles") no mercado de gasolina de Perth, Austrália — evidência empírica da dinâmica cooperação/punição prevista pelos modelos de jogos repetidos.
Este box simula os ciclos de Edgeworth: preços sobem gradualmente (fase cooperativa) e depois desabam (fase de punição/undercut), gerando o padrão "dente de serra".
Exercícios Resolvidos¶
Exercício Resolvido 9b.1 — Grim Trigger em postos de combustíveis
Enunciado: Dois postos de combustíveis interagem repetidamente. Payoffs: se ambos mantêm preço alto (cooperam), cada um lucra R$ 8.000/mês; se ambos cortam preço (traem), cada um lucra R$ 2.000/mês; se um corta e outro mantém, o que cortou lucra R$ 12.000 e o outro lucra R$ 0. Qual o fator de desconto mínimo para sustentar cooperação com grim trigger?
Dados: \(T = 12.000\), \(R = 8.000\), \(P = 2.000\), \(S = 0\).
Resolução:
Valor presente de cooperar: \(V_{\text{coop}} = 8.000/(1-\delta)\)
Valor presente de desviar: \(V_{\text{desvio}} = 12.000 + 2.000\delta/(1-\delta)\)
Condição: \(V_{\text{coop}} \geq V_{\text{desvio}}\)
Pela fórmula: \(\delta^* = (T-R)/(T-P) = 4.000/10.000 = 0{,}4\). ✓
Interpretação: \(\delta^* = 0{,}4\) é baixo, indicando que a cooperação é fácil de sustentar — consistente com a prevalência de cartéis no setor. Com interação diária, o fator efetivo é próximo de 1, muito acima de 0,4. Isso explica por que o CADE precisa intervir ativamente.
Exercício Resolvido 9b.2 — Barganha de Rubinstein
Enunciado: Dois agentes negociam a divisão de R$ 1 milhão com ofertas alternadas. O jogador 1 (proponente) tem \(\delta_1 = 0{,}9\) e o jogador 2 (respondedor) tem \(\delta_2 = 0{,}8\). Encontre a divisão no EPS.
Resolução:
No EPS de Rubinstein:
Resultado: Jogador 1 (mais paciente) fica com ≈ R$ 714.000 e jogador 2 fica com ≈ R$ 286.000.
Interpretação: A paciência confere poder na barganha. O jogador 1, com \(\delta_1 = 0{,}9 > \delta_2 = 0{,}8\), obtém uma fatia 2,5 vezes maior. No caso simétrico (\(\delta_1 = \delta_2 = 0{,}9\)), a divisão seria \(1/(1+0{,}9) \approx 52{,}6\%\) vs \(47{,}4\%\) — a vantagem do proponente (first-mover).
Exercícios¶
Exercício 9b.1. (Credibilidade de ameaças) Considere o jogo de entrada com 3 estágios: (1) E decide se entra; (2) I decide se investe K em capacidade; (3) se E entrou, I decide se luta ou acomoda.
Payoffs sem investimento: como no exemplo da Seção 9b.1. Payoffs com investimento: se E entra e I luta, I obtém 0 (em vez de –1); o custo K reduz o payoff de I quando não luta em 1.
(a) Para que valores de K a ameaça de lutar se torna crível?
(b) Encontre o EPS para K que torna a ameaça crível.
Exercício 9b.2. (Tit-for-Tat) No Dilema dos Prisioneiros repetido com payoffs \(T = 5\), \(R = 3\), \(P = 1\), \(S = 0\):
(a) Mostre que a cooperação com Tit-for-Tat requer \(\delta \geq (T-R)/(T-S) = 2/5\).
(b) Compare com o grim trigger. Qual estratégia requer menor \(\delta^*\)?
(c) Discuta as vantagens do Tit-for-Tat à luz dos torneios de Axelrod (1984).
Exercício 9b.3. (Barganha) Dois sindicatos negociam com uma empresa. O sindicato A tem \(\delta_A = 0{,}95\) e o sindicato B tem \(\delta_B = 0{,}7\). Qual sindicato obtém um acordo melhor no modelo de Rubinstein? Quantifique.
Exercício 9b.4. (Conluio com N firmas) Mostre que no Cournot repetido infinitamente com \(N\) firmas simétricas, a cooperação requer \(\delta \geq \frac{(N+1)^2 - 4N}{(N+1)^2 - (N-1)^2}\). Para \(N = 2\), qual é \(\delta^*\)? E para \(N = 10\)?
Vem, ANPEC!¶
ANPEC 2010 — Questão 10
Considere o jogo "caça ao cervo":
| Caçador 2: Cervo | Caçador 2: Lebre | |
|---|---|---|
| Caçador 1: Cervo | \((3, 3)\) | \((x, 1)\) |
| Caçador 1: Lebre | \((1, x)\) | \((1, 1)\) |
com \(0 \leq x < 1\). Avalie:
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 0 | Trata-se de um jogo de informação imperfeita. |
| 1 | Há dois equilíbrios de Nash. |
| 2 | Os dois caçadores possuem estratégias fracamente dominantes. |
| 3 | Se \(x = 0\), o equilíbrio misto prescreve Cervo com probabilidade \(1/3\). |
| 4 | Se \(x \to 1\), o equilíbrio misto converge para o EN Pareto-dominado (Lebre, Lebre). |
Gabarito
Respostas: 11011
-
Item 0 — V: Jogos simultâneos são de informação imperfeita (cada jogador desconhece a ação do outro no momento da decisão).
-
Item 1 — V: Dois EN em puras: (Cervo, Cervo) e (Lebre, Lebre). Em ambos, nenhum desvia (\(3 > 1\) e \(1 > x\)).
-
Item 2 — F: Nenhuma estratégia é dominante. Cervo é melhor se o outro joga Cervo (\(3 > 1\)), mas Lebre é melhor se o outro joga Lebre (\(1 > x\)).
-
Item 3 — V: Com \(x=0\): \(U_2(\text{Cervo}; p) = 3p\), \(U_2(\text{Lebre}; p) = 1\). Igualando: \(p = 1/3\).
-
Item 4 — V: Probabilidade de Cervo: \(p = (1-x)/(3-x)\). Quando \(x \to 1\): \(p \to 0\), convergindo para (Lebre, Lebre).
Apêndice: A Pesquisa em Ação¶
Porter, Robert H. (1983). A Study of Cartel Stability: The Joint Executive Committee, 1880–1886. The Bell Journal of Economics, 14(2), 301–314.
Pergunta: Os modelos de jogos repetidos preveem alternância entre conluio e guerras de preço. Essa dinâmica é observável em dados reais?
Método: Dados semanais do Joint Executive Committee (cartel ferroviário, EUA, 1880–86). Modelo de switching regression para identificar fases cooperativas e de guerra de preços.
Resultado: O cartel alternava entre cooperação (preços altos) e guerras de preço (preços baixos), precipitadas por choques de demanda — consistente com Green e Porter (1984).
Relevância: Metodologia aplicável à investigação do CADE: padrões de preços que alternam "estabilidade" e "guerra" podem indicar conluio tácito.
Axelrod, Robert (1984). The Evolution of Cooperation. New York: Basic Books.
Contribuição: Axelrod organizou dois torneios de computador onde especialistas submeteram estratégias para o Dilema dos Prisioneiros repetido. A vencedora foi Tit-for-Tat (Anatol Rapoport): simples, "nice" (coopera primeiro), retaliadora (pune imediatamente) e "forgiving" (volta a cooperar).
Resultado: Estratégias "nice" (que nunca iniciam a traição) dominaram. A cooperação emerge não por altruísmo, mas por auto-interesse esclarecido — a "sombra do futuro" é suficiente.
Relevância: Os torneios de Axelrod influenciaram o desenho de mecanismos de regulação (programas de leniência, que exploram a instabilidade do conluio via incentivos à delação).
Rubinstein, Ariel (1982). Perfect Equilibrium in a Bargaining Model. Econometrica, 50(1), 97–109.
Contribuição: Rubinstein mostrou que o jogo de ofertas alternadas com desconto tem um único EPS, com divisão determinada pelos fatores de desconto. Quando o intervalo entre ofertas vai a zero, o resultado converge para a solução de barganha de Nash — uma fundamentação não cooperativa para a teoria cooperativa.
Relevância: Base teórica para a análise de negociações salariais, disputas comerciais e arbitragem.
Referências do Capítulo¶
- Adams, Brian W. 2025. Game Theory for Applied Econometricians. Boca Raton: CRC Press. Caps. 6–8.
- Andersen, Steffen, Seda Ertaç, Uri Gneezy, Moshe Hoffman, e John A. List. 2011. "Stakes Matter in Ultimatum Games." American Economic Review 101 (7): 3427–3439. DOI
- Axelrod, Robert. 1984. The Evolution of Cooperation. New York: Basic Books.
- Benoit, Jean-Pierre, e Vijay Krishna. 1985. "Finitely Repeated Games." Econometrica 53 (4): 905–922. DOI
- Clark, Robert, e Jean-François Roos. 2019. "Learning to Coordinate: A Study in Retail Gasoline." Working Paper.
- Fudenberg, Drew, e Jean Tirole. 1991. Game Theory. Cambridge, MA: MIT Press.
- Gibbons, Robert. 1992. Game Theory for Applied Economists. Princeton: Princeton University Press.
- Green, Edward J., e Robert H. Porter. 1984. "Noncooperative Collusion under Imperfect Price Information." Econometrica 52 (1): 87–100. DOI
- Porter, Robert H. 1983. "A Study of Cartel Stability: The Joint Executive Committee, 1880–1886." The Bell Journal of Economics 14 (2): 301–314. DOI
- Rubinstein, Ariel. 1982. "Perfect Equilibrium in a Bargaining Model." Econometrica 50 (1): 97–109. DOI
- Schelling, Thomas C. 1960. The Strategy of Conflict. Cambridge, MA: Harvard University Press.
- Wang, Zhongmin. 2009. "(Mixed) Strategy in Oligopoly Pricing: Evidence from Gasoline Price Cycles Before and Under a Timing Regulation." Journal of Political Economy 117 (6): 987–1030. DOI