Exercícios e Revisão¶

🧪 Atividades de Sala de Aula¶

Atividade 9a.1 — Dilema dos Prisioneiros ao vivo (20 min)

Objetivo: Demonstrar a tensão entre racionalidade individual e eficiência coletiva — e testar se a cooperação emerge com repetição.

Material: Cartões com "C" (Cooperar) e "T" (Trair) para cada aluno, tabela de payoffs projetada.

Protocolo:

Formação de duplas (2 min): Alunos formam pares aleatórios. Cada dupla recebe 2 cartões (C e T).
Rodada única (3 min): Sem comunicação, cada aluno escolhe C ou T simultaneamente (cartões virados para baixo, revelados ao mesmo tempo). Payoffs: (C,C) = 3 pontos cada; (C,T) = 0 e 5; (T,T) = 1 cada. Anote os resultados.
5 rodadas com o mesmo parceiro (8 min): Repita o jogo 5 vezes com o mesmo par. Permita que vejam as escolhas anteriores do parceiro (mas não permitam conversa). Anote rodada a rodada.
Debrief coletivo (7 min):
- Projete a distribuição de escolhas (% cooperação) por rodada. Tipicamente, cooperação cresce nas rodadas 2–4 e cai na rodada 5 (efeito de endgame).
- Pergunte: "Quem cooperou mais nas rodadas intermediárias? Por quê?" → Conecte com o shadow of the future (Módulo 9b).
- Pergunte: "Quem traiu na última rodada sabendo que não haveria 'amanhã'?" → Conecte com unraveling em jogos finitos.
- Compare a taxa de cooperação observada com a previsão teórica (0% em jogo de uma rodada; 0% em jogo finito por indução retroativa).

Variação avançada: Após o debrief, jogue mais 5 rodadas com parceiro aleatório (rematching a cada rodada). Preveja: a cooperação vai cair drasticamente. Por quê? Porque a repetição com parceiro fixo cria reputação; com parceiro aleatório, cada rodada é efetivamente um jogo de uma vez.

Conexão com o conteúdo: Dilema dos Prisioneiros (Seção 9a.2), Folk Theorem e cooperação em jogos repetidos (Módulo 9b). Evidência experimental: Axelrod (1984), The Evolution of Cooperation.

Atividade 9a.2 — Leilão de primeiro preço vs. segundo preço (25 min)

Objetivo: Verificar empiricamente o Teorema da Equivalência de Receita e o sombreamento de lances (bid shading).

Material: Baralho de cartas (ou geradores aleatórios no celular); envelopes de papel; planilha projetada.

Protocolo:

Sorteio de valores (2 min): Cada aluno sorteia uma carta de um baralho (Ás = 1, ..., Rei = 13). Esse é seu valor privado $v_i$. Ninguém mostra a carta.
Leilão de primeiro preço (8 min): Grupos de 4 alunos. Cada um escreve seu lance $b_i$ em papel dobrado e entrega ao "leiloeiro" (um colega). O maior lance ganha e paga o próprio lance. Lucro = $v_i - b_i$ se ganhou, 0 se perdeu. Façam 3 rodadas (re-sorteio de cartas a cada rodada).
Leilão de segundo preço (8 min): Mesmos grupos. Agora o maior lance ganha, mas paga o segundo maior lance. Façam 3 rodadas.
Debrief (7 min):
- Calcule a receita média em cada formato. São próximas? → Equivalência de receita.
- Pergunte: "Quanto você sombreou no primeiro preço?" → Compare com a fórmula teórica $b(v) = v \cdot (N-1)/N = v \cdot 3/4$.
- Pergunte: "No segundo preço, alguém lançou abaixo do valor? Acima?" → Discuta por que $b_i = v_i$ é dominante.
- Alunos que lançaram acima do valor no segundo preço cometeram a maldição do vencedor em miniatura.

Conexão com o conteúdo: Leilões IPV (Módulo 9c, Seção 9c.3), Teorema da Equivalência de Receita (Myerson, 1981; Riley e Samuelson, 1981). Inspirado em Holt (2007, Cap. 19).

Atividade 9a.3 — Competição de Cournot com post-its (15 min)

Objetivo: Demonstrar o equilíbrio de Cournot e a tentação do conluio.

Material: Post-its, quadro branco.

Protocolo:

Setup (3 min): Projete: demanda inversa $P = 100 - Q$, custo marginal $c = 10$. Alunos formam duplas (firmas). Cada firma escolhe quantidade $q_i \in \{0, 5, 10, ..., 45\}$.
Rodada 1 — Sem comunicação (4 min): Cada firma escreve $q_i$ no post-it, entrega ao professor. Calcule $Q$, $P$ e lucros. Projete os resultados.
Rodada 2 — Com comunicação (4 min): Permita que as duplas conversem por 1 minuto antes de decidir (separadamente). Observe: muitas tentarão conluio ($q_1 = q_2 = 22{,}5$), mas sem enforcement, a tentação de desviar é forte.
Debrief (4 min):
- Compare as quantidades observadas com Cournot ($q^* = 30$ cada), monopólio dividido ($q = 22{,}5$ cada) e Bertrand ($q = 45$ cada).
- Pergunte: "Quem prometeu produzir 22,5 mas colocou 30 no post-it?" → Dilema dos Prisioneiros no oligopólio.

Conexão com o conteúdo: Modelo de Cournot (Seção 9a.5), conluio e incentivo a desviar (Módulo 9b).

🧠 Revisão Rápida¶

Teste seu entendimento dos conceitos centrais deste capítulo.

1. Um equilíbrio de Nash é um perfil de estratégias no qual:

(a) Todos os jogadores obtêm o maior payoff possível
(b) Nenhum jogador pode melhorar seu payoff alterando unilateralmente sua estratégia
(c) Todos os jogadores usam estratégias dominantes
(d) A soma dos payoffs é maximizada

Resposta

(b) O equilíbrio de Nash exige que cada jogador esteja fazendo a melhor resposta à estratégia dos demais — nenhum tem incentivo a desviar unilateralmente. Não exige que os payoffs sejam máximos (a), que existam estratégias dominantes (c) ou que o resultado seja socialmente ótimo (d). O Dilema dos Prisioneiros ilustra bem: o EN é mutuamente pior, mas ninguém desvia sozinho.

2. No Dilema dos Prisioneiros, o resultado de equilíbrio é ineficiente porque:

(a) Os jogadores não conseguem se comunicar
(b) Cada jogador tem uma estratégia dominante que leva a um resultado Pareto-inferior à cooperação mútua
(c) O jogo não tem equilíbrio de Nash
(d) Os payoffs são assimétricos entre os jogadores

Resposta

(b) Cada prisioneiro tem incentivo individual a confessar (estratégia dominante), independentemente do que o outro faz. Mas quando ambos confessam, obtêm um resultado pior do que se ambos calassem. O problema não é falta de comunicação (a) — mesmo com comunicação, sem enforcement, cada um desvia. O jogo tem EN (c é falsa); a simetria (d) é irrelevante.

3. No duopólio de Cournot (competição em quantidades), comparado ao monopólio, o preço de equilíbrio é:

(a) Igual ao preço de monopólio
(b) Menor que o de monopólio e maior que o competitivo
(c) Igual ao preço competitivo (custo marginal)
(d) Maior que o preço de monopólio devido à competição

Resposta

(b) No Cournot, cada firma produz considerando a produção da rival como dada. O resultado é intermediário: mais produção e menor preço que o monopólio, mas menos produção e maior preço que a concorrência perfeita. À medida que o número de firmas cresce, o resultado converge para o competitivo.

4. O Paradoxo de Bertrand afirma que, com produtos homogêneos e custos marginais constantes iguais, duas firmas já bastam para:

(a) Manter preços de monopólio indefinidamente
(b) Gerar o resultado competitivo: preço igual ao custo marginal e lucro econômico zero
(c) Produzir quantidades iguais às de Cournot
(d) Eliminar o incentivo à entrada de novas firmas

Resposta

(b) No modelo de Bertrand com produtos homogêneos, cada firma tem incentivo a cortar marginalmente o preço para capturar todo o mercado. O único equilíbrio é $p_1 = p_2 = c$ (custo marginal), com lucro zero — resultado idêntico à concorrência perfeita com apenas duas firmas. Isso é 'paradoxal' porque esperaríamos algum poder de mercado com tão poucas firmas.

5. Um equilíbrio de Nash em estratégias mistas existe:

(a) Apenas em jogos com estratégias dominantes
(b) Apenas quando não há equilíbrio em estratégias puras
(c) Em todo jogo finito (com número finito de jogadores e estratégias), pelo Teorema de Nash
(d) Apenas em jogos de soma zero

Resposta

(c) O Teorema de Nash (1950) garante que todo jogo finito possui pelo menos um equilíbrio de Nash, possivelmente em estratégias mistas. A alternativa (b) é incorreta — podem coexistir equilíbrios puros e mistos; (a) é muito restritiva; (d) ignora que o teorema se aplica a jogos gerais, não apenas soma zero.

📋 Resumo do Capítulo¶

A teoria dos jogos estuda a tomada de decisão em ambientes de interdependência estratégica, nos quais o resultado de cada agente depende das ações de todos os demais. A disciplina foi fundada por Von Neumann e Morgenstern (1944) e revolucionada por Nash (1950, 1951), Selten (1965) e Harsanyi (1967–68).
Jogos estáticos com informação completa são representados na forma normal (matriz de payoffs) e resolvidos pelo conceito de equilíbrio de Nash: um perfil de estratégias em que nenhum jogador pode melhorar unilateralmente seu payoff — a condição de "ausência de arrependimento" (no-regret).
O Dilema dos Prisioneiros ilustra a tensão central entre racionalidade individual e eficiência coletiva: a estratégia dominante de cada jogador leva a um resultado Pareto-dominado. O equilíbrio de Nash é uma condição de estabilidade, não de eficiência.
A Eliminação Iterada de Estratégias Dominadas (EIED) é um procedimento de solução baseado apenas em racionalidade e conhecimento comum de racionalidade. Para estratégias estritamente dominadas, a ordem de eliminação não altera o resultado.
Estratégias mistas garantem a existência de equilíbrio em todo jogo finito (Teorema de Nash) e são determinadas pelo princípio da indiferença — cada jogador randomiza de modo a deixar o oponente indiferente entre suas estratégias puras.
Os modelos de oligopólio (Cournot, Bertrand e Stackelberg) aplicam o equilíbrio de Nash a mercados com poucos concorrentes, mostrando como a variável estratégica (quantidade vs. preço) e a ordem de movimento alteram radicalmente preços, quantidades e lucros.
No Cournot, firmas competem em quantidades (substitutos estratégicos) e o resultado situa-se entre monopólio e competição perfeita; no Bertrand com produtos homogêneos, duas firmas bastam para reproduzir o resultado competitivo (paradoxo de Bertrand); no Stackelberg, a líder obtém vantagem via comprometimento crível com quantidade elevada.
O resultado de Kreps-Scheinkman (1983) unifica Cournot e Bertrand: quando as firmas escolhem capacidade antes de competir em preços, o equilíbrio de dois estágios reproduz o resultado de Cournot.

🔑 Conceitos-Chave¶

Conceito	Definição
Jogo na forma normal	Tripla $\langle N, (S_i), (u_i) \rangle$ que especifica jogadores, estratégias e payoffs.
Equilíbrio de Nash	Perfil de estratégias em que nenhum jogador pode melhorar seu payoff desviando unilateralmente.
Estratégia dominante	Estratégia que é ótima para um jogador independentemente das ações dos demais.
Estratégia mista	Distribuição de probabilidade sobre as estratégias puras de um jogador.
Princípio da indiferença	Em equilíbrio misto, cada jogador randomiza de forma a tornar o oponente indiferente entre suas estratégias puras.
EIED	Eliminação Iterada de Estratégias Estritamente Dominadas — procedimento de solução que reduz o jogo removendo estratégias que nunca são ótimas.
Modelo de Cournot	Oligopólio em que firmas escolhem quantidades simultaneamente; o equilíbrio é a interseção das funções de melhor-resposta.
Modelo de Bertrand	Oligopólio em que firmas escolhem preços simultaneamente; com produtos homogêneos, o preço converge para o custo marginal.
Modelo de Stackelberg	Oligopólio sequencial em que a líder se compromete com uma quantidade antes da seguidora, obtendo vantagem de primeiro movimento.
Dilema dos Prisioneiros	Jogo em que a estratégia dominante de cada jogador leva a um resultado coletivamente inferior (Pareto-dominado).

Tabela 9a.6 — Conceitos-chave.

🎯 Exercícios Resolvidos¶

Exercício Resolvido 9a.1 — Equilíbrios de Nash na Batalha dos Sexos

Enunciado: Encontre todos os equilíbrios de Nash (em puras e em mistas) do seguinte jogo simultâneo:

	Jogador 2: E	Jogador 2: D
Jogador 1: C	$(2, 1)$	$(0, 0)$
Jogador 1: B	$(0, 0)$	$(1, 2)$

Resolução:

Passo 1 — Equilíbrios em estratégias puras

$(C, E)$: J1 obtém 2 (desviar → 0). J2 obtém 1 (desviar → 0). Nash ✓
$(C, D)$: J1 obtém 0 (desviar → 1). Não é Nash.
$(B, E)$: J1 obtém 0 (desviar → 2). Não é Nash.
$(B, D)$: J1 obtém 1 (desviar → 0). J2 obtém 2 (desviar → 0). Nash ✓

Passo 2 — Equilíbrio em estratégias mistas

Seja $p = \Pr(\text{J1 joga C})$ e $q = \Pr(\text{J2 joga E})$.

Para J2 ser indiferente: $p \cdot 1 = (1-p) \cdot 2 \implies p = 2/3$

Para J1 ser indiferente: $2q = (1-q) \implies q = 1/3$

Resultado: Três equilíbrios de Nash: $(C, E)$, $(B, D)$ e o misto $\sigma_1 = (2/3, 1/3)$, $\sigma_2 = (1/3, 2/3)$ com payoffs esperados $U_1 = U_2 = 2/3$.

Interpretação: Este é um jogo de coordenação com preferências conflitantes. Múltiplos equilíbrios explicam por que convenções, normas (ABNT, INMETRO) e regulamentações são valiosas — funcionam como "pontos focais" (Schelling, 1960).

Exercício Resolvido 9a.2 — Cournot assimétrico no setor aéreo

Enunciado: Duas companhias aéreas competem à la Cournot em uma rota doméstica. A demanda inversa é $P(Q) = 500 - 2Q$, onde $Q = q_1 + q_2$ (em milhares de assentos/mês). A incumbente tem custo marginal $c_1 = 100$ e a entrante tem $c_2 = 150$. Encontre o equilíbrio de Cournot-Nash.

Resolução:

Passo 1 — Funções de melhor-resposta

CPO da firma 1: $500 - 4q_1 - 2q_2 - 100 = 0 \implies q_1^*(q_2) = 100 - q_2/2$

CPO da firma 2: $500 - 2q_1 - 4q_2 - 150 = 0 \implies q_2^*(q_1) = 87{,}5 - q_1/2$

Passo 2 — Equilíbrio

Substituindo: $q_1 = 100 - (87{,}5 - q_1/2)/2 = 56{,}25 + q_1/4$, logo $q_1^* = 75$, $q_2^* = 50$.

Passo 3 — Preço e lucros

$Q^* = 125$, $P^* = 250$, $\pi_1 = 150 \times 75 = 11.250$, $\pi_2 = 100 \times 50 = 5.000$.

Interpretação: A firma mais eficiente produz mais e lucra mais. Na aviação brasileira, a Latam tem historicamente custos por ASK menores, o que contribui para seu market share de 39,1%.

Exercício Resolvido 9a.3 — Stackelberg no mercado de cervejas

Enunciado: A Ambev (líder) e a Heineken (seguidora) competem à la Stackelberg no mercado de cerveja premium. A demanda inversa é $P = 20 - Q$ (R$/litro, em milhões de litros/mês), com $c_1 = c_2 = 4$.

(a) Encontre o equilíbrio de Stackelberg. (b) Compare com Cournot.

Resolução:

(a) Stackelberg

Seguidora: $q_2^*(q_1) = (20 - 4 - q_1)/2 = 8 - q_1/2$

Líder: $\pi_1 = (20 - q_1 - 8 + q_1/2 - 4)q_1 = (8 - q_1/2)q_1$

CPO: $8 - q_1 = 0 \implies q_1^S = 8$, $q_2^S = 4$

$Q^S = 12$, $P^S = 8$, $\pi_1^S = 32$, $\pi_2^S = 16$

(b) Cournot

$q_1^C = q_2^C = 16/3 \approx 5{,}33$, $Q^C = 32/3 \approx 10{,}67$, $P^C = 28/3 \approx 9{,}33$

$\pi_1^C = \pi_2^C = 256/9 \approx 28{,}4$

Comparação:

	Stackelberg	Cournot
$q_1$	8	5,33
$q_2$	4	5,33
Preço	R$ 8,00	R$ 9,33
$\pi_{\text{líder}}$	32	28,4
$\pi_{\text{seguidora}}$	16	28,4

A líder ganha (+12,5%), a seguidora perde (–43,7%), e o consumidor ganha (preço menor, quantidade maior).

✏️ Exercícios¶

Exercício 9a.1. Considere o seguinte jogo simultâneo:

	Jogador 2: L	Jogador 2: R
Jogador 1: U	$(4, 3)$	$(1, 5)$
Jogador 1: D	$(3, 1)$	$(2, 2)$

(a) Existem estratégias estritamente dominantes? Justifique.

(b) Encontre todos os equilíbrios de Nash em estratégias puras.

(c) Encontre o equilíbrio de Nash em estratégias mistas e calcule os payoffs esperados.

Ver solução

Exercício 9a.2. Duas firmas idênticas competem à la Cournot com demanda inversa $P(Q) = 120 - Q$ e custo marginal $c = 30$.

(a) Derive as funções de melhor resposta e encontre o equilíbrio de Nash.

(b) Compare o resultado com monopólio e competição perfeita.

(c) Agora suponha que a firma 1 move primeiro (Stackelberg). Encontre o equilíbrio e compare.

Ver solução

Exercício 9a.3. No modelo de Bertrand com diferenciação, as demandas são $q_1 = a - bp_1 + dp_2$ e $q_2 = a - bp_2 + dp_1$, com $b > d > 0$ e custo marginal $c$.

(a) Derive as funções de melhor-resposta em preços e mostre que são crescentes (complementos estratégicos).

(b) Encontre o equilíbrio de Nash e mostre que os lucros são positivos (diferentemente do Bertrand homogêneo).

(c) O que acontece quando $d \to 0$? E quando $d \to b$?

Ver solução

Exercício 9a.4. (Jogo Bayesiano — prévia do Módulo 9c) Uma firma incumbente pode ser forte ($\theta_F$, com probabilidade 0,6) ou fraca ($\theta_W$, com probabilidade 0,4). Uma entrante decide se entra.

Não entra: I obtém 10, E obtém 0.
Entra + I forte: payoffs (3, –2).
Entra + I fraca: payoffs (2, 4).

(a) Calcule o lucro esperado de E se entrar.

(b) Encontre o Equilíbrio de Nash Bayesiano.

(c) I teria incentivo para sinalizar força? (Tema do Módulo 9d.)

Ver solução

Exercício 9a.5. (Sinalização — prévia do Módulo 9d) No modelo de Spence, trabalhadores têm produtividade $\theta_H = 2$ (prob. 0,5) ou $\theta_L = 1$ (prob. 0,5). O custo da educação é $c(e, \theta) = e/\theta$. Encontre um equilíbrio separador e verifique que nenhum tipo desvia.

Ver solução

Exercício 9a.6. (Fácil — equilíbrios de Nash em jogo 2×2) Considere o seguinte jogo simultâneo:

	Jogador 2: X	Jogador 2: Y
Jogador 1: A	$(5, 4)$	$(1, 3)$
Jogador 1: B	$(2, 6)$	$(4, 2)$

(a) Há estratégias estritamente dominantes? Justifique para cada jogador.

(b) Encontre todos os equilíbrios de Nash em estratégias puras utilizando o método das melhores respostas (sublinhado de payoffs).

(c) Mostre que os equilíbrios encontrados satisfazem a definição formal de Nash: nenhum jogador deseja desviar unilateralmente.

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Exercício 9a.7. (Fácil — duopólio de Cournot com demanda linear) Duas firmas competem à la Cournot em um mercado com demanda inversa $P(Q) = 100 - Q$, onde $Q = q_1 + q_2$. A firma 1 tem custo marginal $c_1 = 20$ e a firma 2 tem custo marginal $c_2 = 20$.

(a) Derive as funções de melhor resposta (reação) de cada firma.

(b) Encontre o equilíbrio de Nash de Cournot $(q_1^*, q_2^*, P^*)$ e os lucros de equilíbrio.

(c) Se $N$ firmas idênticas competem à la Cournot com os mesmos parâmetros, qual é o preço de equilíbrio para $N = 1$ (monopólio), $N = 2$, $N = 5$ e $N \to \infty$? Interprete.

Ver solução

Exercício 9a.8. (Médio — Bertrand com diferenciação de produto) Duas firmas produzem bens diferenciados com demandas:

\[ q_1 = 60 - 2p_1 + p_2, \qquad q_2 = 60 - 2p_2 + p_1 \]

e custo marginal $c = 10$ para ambas.

(a) Derive a função de melhor resposta em preços de cada firma. As estratégias de preço são complementos ou substitutos estratégicos? Justifique economicamente.

(b) Encontre o equilíbrio de Nash de Bertrand com diferenciação: preços, quantidades e lucros.

(c) Mostre que os lucros de equilíbrio são positivos e compare com o resultado de Bertrand com produto homogêneo. O que determina a magnitude dos lucros?

Ver solução

Exercício 9a.9. (Médio — Brasil — CADE e análise de fusão via HHI de Cournot) Três firmas idênticas competem à la Cournot em um mercado com demanda inversa $P(Q) = 180 - Q$ e custo marginal $c = 30$. O regulador (CADE) considera uma fusão entre as firmas 2 e 3, que formaria uma única firma com custo marginal $c_M = 30$ (sem ganho de eficiência).

(a) Calcule o equilíbrio de Cournot pré-fusão: quantidades individuais, preço, lucros e HHI (Índice Herfindahl-Hirschman, definido como $\text{HHI} = \sum_{i=1}^{N} s_i^2 \times 10000$, onde $s_i$ é o market share em decimal).

(b) Calcule o equilíbrio de Cournot pós-fusão (duopólio com duas firmas, sendo uma delas a fusionada): quantidades, preço, lucros e HHI.

(c) O CADE usa como limiar de preocupação um aumento de HHI ($\Delta\text{HHI}$) acima de 200 pontos em mercados com HHI pré-fusão acima de 1.500. A fusão deve ser aprovada, aprovada com restrições ou bloqueada? A fusão beneficia consumidores ou produtores?

Ver solução

Exercício 9a.10. (Difícil — equilíbrio em estratégias mistas em jogo 3×3) Considere o seguinte jogo simultâneo de soma zero entre dois jogadores (os payoffs indicam o ganho do Jogador 1; o Jogador 2 obtém o negativo):

	J2: L	J2: M	J2: R
J1: T	$3$	$-1$	$2$
J1: M	$-2$	$4$	$-1$
J1: B	$1$	$0$	$3$

(a) Verifique se existe alguma estratégia estritamente dominada para algum dos jogadores. Use a EIED para simplificar o jogo, se possível.

(b) Após a EIED, encontre o equilíbrio em estratégias mistas do jogo reduzido. (Dica: em jogos de soma zero 2×2, o equilíbrio misto é determinado pelo princípio da indiferença aplicado a ambos os jogadores.)

(c) Calcule o valor do jogo (payoff esperado do Jogador 1 no equilíbrio) e interprete economicamente.

Ver solução

🏆 Vem, ANPEC!¶

ANPEC 2021 — Questão 11

Com relação à Teoria dos Jogos, julgue os itens a seguir:

Item	Afirmação
0	A ordem em que estratégias fracamente dominadas são eliminadas é relevante, pois pode afetar o conjunto das estratégias sobreviventes.
1	No jogo abaixo, T, M, B são estratégias de J1 e E, C, D de J2. As estratégias racionalizáveis são T, M, E.

Jogo do Item 1:

	J2: E	J2: C	J2: D
J1: T	$(2, 0)$	$(1, 1)$	$(4, 2)$
J1: M	$(3, 4)$	$(1, 2)$	$(2, 3)$
J1: B	$(1, 3)$	$(0, 2)$	$(3, 0)$

Item	Afirmação
2	No equilíbrio de Nash em mistas do jogo abaixo, J1 joga T com probabilidade $1/3$ e B com $2/3$, J2 joga E com $2/3$ e D com $1/3$.

	J2: E	J2: D
J1: T	$(2, 0)$	$(4, 2)$
J1: B	$(3, 4)$	$(2, 3)$

Item	Afirmação
3	No jogo abaixo existe um único equilíbrio de Nash em puras.

	J2: E	J2: D
J1: T	$(-1, -1)$	$(4, 0)$
J1: B	$(0, 4)$	$(2, 2)$

Item	Afirmação
4	Todo jogo na forma normal possui um equilíbrio de Nash em estratégias mistas.

Gabarito

Respostas: 10100

Item 0 — V: Resultado clássico. Para estratégias estritamente dominadas, a ordem não importa. Para fracamente dominadas, a ordem pode alterar o conjunto sobrevivente.
Item 1 — F: Eliminando B (estritamente dominada por T), resta o jogo 2×3. C é estritamente dominada por uma mistura de E e D para J2. Eliminando C, sobram $\{T, M\} \times \{E, D\}$ — nenhuma é dominada. As racionalizáveis são $\{T, M, E, D\}$, não apenas $\{T, M, E\}$.
Item 2 — V: Para J2 ser indiferente: $U_2(E; p) = 4(1-p)$ e $U_2(D; p) = 2p + 3(1-p) = 3-p$. Igualando: $4-4p = 3-p \implies p = 1/3$. Para J1: $U_1(T; q) = 2q + 4(1-q) = 4-2q$ e $U_1(B; q) = 3q + 2(1-q) = 2+q$. Igualando: $4-2q = 2+q \implies q = 2/3$. Correto.
Item 3 — F: Existem dois EN em puras: $(T, D)$ com payoffs $(4, 0)$ e $(B, E)$ com payoffs $(0, 4)$.
Item 4 — F: O Teorema de Nash garante existência para jogos finitos. Jogos com espaços infinitos de estratégias podem não ter equilíbrio sem condições adicionais (compacidade, continuidade — Teorema de Glicksberg).

ANPEC 2022 — Questão 11

Com relação ao oligopólio, julgue os itens:

Item	Afirmação
0	Em um Duopólio de Cournot com $c_1(q_1) = q_1^2/2$, $c_2(q_2) = q_2^2$ e $P(Q) = 11 - Q$, o equilíbrio é $(q_1^, q_2^; P^*) = (3, 2; 6)$.
1	Ao comparar oligopolização pelo Índice de Lerner, a indústria mais oligopolizada tem necessariamente maior HHI.
2	No equilíbrio de Stackelberg, a seguidora lucra mais que em Cournot.
3	No equilíbrio de Stackelberg, a isoprofit da líder tangencia a curva de reação da seguidora.
4	Duopólio de Bertrand repetido infinitamente: se competir dá lucro 0, cartel dá 40 cada, desviar dá 200, então a menor taxa de desconto para sustentar o cartel com GRIM é $\delta = 0{,}25$.

Gabarito

Respostas: 10010

Item 0 — V: Firma 1: CPO $11 - 2q_1 - q_2 - q_1 = 0 \implies q_1 = (11-q_2)/3$. Firma 2: CPO $11 - q_1 - 2q_2 - 2q_2 = 0 \implies q_2 = (11-q_1)/4$. Resolvendo: $q_1 = 3$, $q_2 = 2$, $P = 6$. ✓
Item 1 — F: No Cournot, $L = \text{HHI}/|\varepsilon|$. Mesmo HHI pode gerar Lerner diferente se as elasticidades diferem.
Item 2 — F: A seguidora produz menos que em Cournot e obtém lucro menor. (Confira na tabela comparativa da Seção 9a.5.)
Item 3 — V: A líder maximiza lucro ao longo da curva de reação da seguidora — ponto de tangência com a isoprofit. (Visível na Figura 9a.4.)
Item 4 — F: Condição: $40/(1-\delta) \geq 200 \implies \delta \geq 0{,}80$, não $0{,}25$.

🤖 Exercício com IA

IA.2 — Equilíbrios de Nash: Puros e Mistos

Use a IA para encontrar todos os equilíbrios de Nash (puros e mistos) do jogo com payoffs (U,L)=(3,1), (U,R)=(0,0), (D,L)=(0,0), (D,R)=(1,3). Depois, peça para a IA explicar por que o equilíbrio misto existe. Verifique se as probabilidades calculadas são corretas resolvendo o sistema de indiferença manualmente.

Ver exercício completo

	J2: L	J2: M	J2: R
J1: T	\(3\)	\(-1\)	\(2\)
J1: M	\(-2\)	\(4\)	\(-1\)
J1: B	\(1\)	\(0\)	\(3\)

	J2: E	J2: C	J2: D
J1: T	\((2, 0)\)	\((1, 1)\)	\((4, 2)\)
J1: M	\((3, 4)\)	\((1, 2)\)	\((2, 3)\)
J1: B	\((1, 3)\)	\((0, 2)\)	\((3, 0)\)

Conceito	Definição
Jogo na forma normal	Tripla \(\langle N, (S_i), (u_i) \rangle\) que especifica jogadores, estratégias e payoffs.
Equilíbrio de Nash	Perfil de estratégias em que nenhum jogador pode melhorar seu payoff desviando unilateralmente.
Estratégia dominante	Estratégia que é ótima para um jogador independentemente das ações dos demais.
Estratégia mista	Distribuição de probabilidade sobre as estratégias puras de um jogador.
Princípio da indiferença	Em equilíbrio misto, cada jogador randomiza de forma a tornar o oponente indiferente entre suas estratégias puras.
EIED	Eliminação Iterada de Estratégias Estritamente Dominadas — procedimento de solução que reduz o jogo removendo estratégias que nunca são ótimas.
Modelo de Cournot	Oligopólio em que firmas escolhem quantidades simultaneamente; o equilíbrio é a interseção das funções de melhor-resposta.
Modelo de Bertrand	Oligopólio em que firmas escolhem preços simultaneamente; com produtos homogêneos, o preço converge para o custo marginal.
Modelo de Stackelberg	Oligopólio sequencial em que a líder se compromete com uma quantidade antes da seguidora, obtendo vantagem de primeiro movimento.
Dilema dos Prisioneiros	Jogo em que a estratégia dominante de cada jogador leva a um resultado coletivamente inferior (Pareto-dominado).

	Jogador 2: E	Jogador 2: D
Jogador 1: C	\((2, 1)\)	\((0, 0)\)
Jogador 1: B	\((0, 0)\)	\((1, 2)\)

	Stackelberg	Cournot
\(q_1\)	8	5,33
\(q_2\)	4	5,33
Preço	R$ 8,00	R$ 9,33
\(\pi_{\text{líder}}\)	32	28,4
\(\pi_{\text{seguidora}}\)	16	28,4

	Jogador 2: L	Jogador 2: R
Jogador 1: U	\((4, 3)\)	\((1, 5)\)
Jogador 1: D	\((3, 1)\)	\((2, 2)\)

	Jogador 2: X	Jogador 2: Y
Jogador 1: A	\((5, 4)\)	\((1, 3)\)
Jogador 1: B	\((2, 6)\)	\((4, 2)\)

	J2: E	J2: D
J1: T	\((-1, -1)\)	\((4, 0)\)
J1: B	\((0, 4)\)	\((2, 2)\)

Item	Afirmação
0	Em um Duopólio de Cournot com \(c_1(q_1) = q_1^2/2\), \(c_2(q_2) = q_2^2\) e \(P(Q) = 11 - Q\), o equilíbrio é \((q_1^, q_2^; P^*) = (3, 2; 6)\).
1	Ao comparar oligopolização pelo Índice de Lerner, a indústria mais oligopolizada tem necessariamente maior HHI.
2	No equilíbrio de Stackelberg, a seguidora lucra mais que em Cournot.
3	No equilíbrio de Stackelberg, a isoprofit da líder tangencia a curva de reação da seguidora.
4	Duopólio de Bertrand repetido infinitamente: se competir dá lucro 0, cartel dá 40 cada, desviar dá 200, então a menor taxa de desconto para sustentar o cartel com GRIM é \(\delta = 0{,}25\).