Capítulo 9a — Nash no Bar: Jogos Estáticos com Informação Completa¶
Introdução¶
Nos capítulos anteriores, os agentes econômicos tomavam decisões considerando preços de mercado como dados — cada consumidor ou firma era suficientemente pequeno para que suas ações individuais não afetassem o ambiente dos demais. Essa hipótese deixa de ser razoável em muitas situações de interesse prático: oligopólios, negociações salariais, leilões, disputas comerciais entre países, competição eleitoral e interações regulatórias. Em todos esses contextos, o resultado para cada agente depende não apenas de suas próprias ações, mas também das ações escolhidas pelos outros agentes.
A teoria dos jogos é o ramo da matemática e da economia que estuda a tomada de decisão em ambientes de interdependência estratégica. Desenvolvida a partir dos trabalhos seminais de Von Neumann e Morgenstern (1944), John Nash (1950, 1951), Reinhard Selten (1965) e John Harsanyi (1967–68), a teoria dos jogos revolucionou a microeconomia e se tornou ferramenta indispensável em campos tão diversos quanto organização industrial, economia política, relações internacionais e biologia evolutiva.
Este módulo apresenta os jogos estáticos (simultâneos) com informação completa: todos os jogadores conhecem a estrutura do jogo — payoffs, estratégias disponíveis e número de jogadores — e escolhem suas ações ao mesmo tempo, sem observar as decisões dos demais. O conceito central de solução é o equilíbrio de Nash, e as principais aplicações são os modelos clássicos de oligopólio (Cournot, Bertrand e Stackelberg).
Estrutura do Capítulo 9
A teoria dos jogos é dividida em quatro módulos, seguindo a taxonomia de Gibbons (1992):
| Módulo | Informação | Timing | Conceito de equilíbrio |
|---|---|---|---|
| 9a (este) | Completa | Estático | Equilíbrio de Nash |
| 9b | Completa | Dinâmico | Equilíbrio Perfeito em Subjogos |
| 9c | Incompleta | Estático | Equilíbrio Bayesiano de Nash |
| 9d | Incompleta | Dinâmico | Equilíbrio Bayesiano Perfeito |
9a.1 Conceitos Básicos¶
Jogo na forma normal (ou estratégica)
Um jogo na forma normal é definido pela tripla \(\Gamma = \langle N, (S_i)_{i \in N}, (u_i)_{i \in N} \rangle\), onde:
- \(N = \{1, 2, \ldots, n\}\) é o conjunto finito de jogadores.
- \(S_i\) é o conjunto de estratégias disponíveis para o jogador \(i\). O perfil de estratégias é \(s = (s_1, s_2, \ldots, s_n) \in S = S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n\).
- \(u_i: S \to \mathbb{R}\) é a função de payoff (utilidade) do jogador \(i\), que associa a cada perfil de estratégias um resultado para \(i\).
Jogo na forma extensiva
Um jogo na forma extensiva é representado por uma árvore de decisão que especifica:
- A ordem cronológica das jogadas.
- Os conjuntos de informação de cada jogador (o que cada um sabe quando decide).
- As ações disponíveis em cada nó de decisão.
- Os payoffs nos nós terminais.
- A distribuição de probabilidade nos nós da natureza (se houver).
A forma extensiva é especialmente útil para jogos sequenciais (Módulo 9b) e jogos com informação imperfeita.
Conceitos auxiliares¶
- Estratégia pura: uma escolha determinística de ação, \(s_i \in S_i\).
- Estratégia mista: uma distribuição de probabilidade sobre as estratégias puras, \(\sigma_i \in \Delta(S_i)\).
- Estratégia dominante: \(s_i^*\) é (estritamente) dominante se \(u_i(s_i^*, s_{-i}) > u_i(s_i, s_{-i})\) para todo \(s_i \neq s_i^*\) e todo \(s_{-i} \in S_{-i}\).
- Estratégia dominada: \(s_i\) é dominada se existe \(s_i'\) tal que \(u_i(s_i', s_{-i}) > u_i(s_i, s_{-i})\) para todo \(s_{-i}\).
- Notação \(s_{-i}\): perfil de estratégias de todos os jogadores exceto \(i\), ou seja, \(s_{-i} = (s_1, \ldots, s_{i-1}, s_{i+1}, \ldots, s_n)\).
Eliminação Iterada de Estratégias Dominadas (EIED)¶
Um procedimento de solução que não requer o conceito de equilíbrio: elimine, iterativamente, as estratégias estritamente dominadas de cada jogador. O conjunto de estratégias que sobrevive a todas as rodadas de eliminação é o conjunto de estratégias racionalizáveis.
Ordem de eliminação
Para estratégias estritamente dominadas, o resultado da EIED independe da ordem de eliminação. Para estratégias fracamente dominadas, a ordem pode afetar o conjunto sobrevivente — um resultado frequentemente cobrado em provas da ANPEC.
9a.2 Dilema dos Prisioneiros¶
O Dilema dos Prisioneiros é possivelmente o jogo mais célebre da teoria dos jogos. Dois suspeitos são interrogados separadamente e cada um pode cooperar (ficar calado) ou trair (delatar o outro).
| Jogador 2: Cooperar | Jogador 2: Trair | |
|---|---|---|
| Jogador 1: Cooperar | \((-1, -1)\) | \((-10, 0)\) |
| Jogador 1: Trair | \((0, -10)\) | \((-5, -5)\) |
A estrutura de payoffs satisfaz: \(T > R > P > S\) (onde \(T\) = tentação, \(R\) = recompensa mútua, \(P\) = punição, \(S\) = sucker's payoff), com a condição adicional \(2R > T + S\).
Cada jogador tem uma estratégia estritamente dominante: Trair. O equilíbrio (Trair, Trair) com payoffs \((-5, -5)\) é o único equilíbrio de Nash, mas é Pareto-dominado pelo resultado (Cooperar, Cooperar) com payoffs \((-1, -1)\). Essa tensão entre racionalidade individual e eficiência coletiva é o cerne do dilema.
Intuição Econômica: O dilema está em toda parte
Em uma frase: No Dilema dos Prisioneiros, cada um faz o melhor para si e o resultado é ruim para todos.
Pense assim: Dois quiosques vizinhos na praia de Copacabana poderiam manter preços altos e lucrar bem. Mas cada um pensa: "se eu baixar o preço, roubo os clientes do vizinho". Ambos baixam, ambos lucram menos — e nenhum consegue voltar atrás sozinho.
Por que isso importa: A guerra fiscal entre estados brasileiros, os cartéis de postos de gasolina e o desmatamento da Amazônia são versões reais desse dilema — situações em que o interesse individual corrói o bem coletivo. A repetição do jogo (Módulo 9b) e o desenho institucional são os mecanismos para escapar da armadilha.
Relevância do Dilema dos Prisioneiros
O Dilema dos Prisioneiros aparece em inúmeros contextos econômicos: corrida armamentista entre nações, concorrência predatória entre firmas, tragédia dos comuns na exploração de recursos naturais e guerra fiscal entre entes federativos (como veremos no Box Brasil deste capítulo). A compreensão desse jogo é fundamental para o desenho de mecanismos e instituições que alinhem incentivos individuais e coletivos.
Taxonomia dos Jogos Clássicos¶
| Jogo | Payoffs (genéricos) | EN em puras | EN em mistas | Característica | Aplicação |
|---|---|---|---|---|---|
| Dilema dos Prisioneiros | \(T > R > P > S\); \(2R > T+S\) | (Trair, Trair) — único | — | Dominância estrita; ineficiência | Cartéis, corrida armamentista |
| Batalha dos Sexos | Coordenação com preferências divergentes | (F,F) e (C,C) | \(\sigma_1=(3/4, 1/4)\), \(\sigma_2=(1/4, 3/4)\) | Múltiplos equilíbrios | Padrões tecnológicos |
| Hawk-Dove | \(V>0\), \(C > V\) | (H,D) e (D,H) | \(p_H = V/C\) | Anti-coordenação | Disputas territoriais |
| Coordenação Pura | Payoffs altos na diagonal | (A,A) e (B,B) | Sim (instável) | Seleção de equilíbrio | Convenções sociais |
| Matching Pennies | Soma zero; interesses opostos | Nenhum | \((1/2, 1/2)\) cada | Jogo estritamente competitivo | Estratégias militares, esportes |
9a.3 Equilíbrio de Nash¶
Equilíbrio de Nash (estratégias puras)
Um perfil de estratégias \(s^* = (s_1^*, s_2^*, \ldots, s_n^*)\) é um Equilíbrio de Nash se, para todo jogador \(i \in N\):
Em palavras: nenhum jogador pode melhorar unilateralmente seu payoff desviando de \(s_i^*\), dado que os demais jogadores mantêm suas estratégias de equilíbrio.
O equilíbrio de Nash é um conceito de consistência mútua de expectativas (Gibbons, 1992, Cap. 1): se cada jogador espera que os demais joguem suas estratégias de equilíbrio, então é ótimo para ele também jogar sua estratégia de equilíbrio. Ninguém tem incentivo para desviar unilateralmente.
Intuição Econômica: Por que Nash funciona
Em uma frase: No equilíbrio de Nash, ninguém se arrepende da própria escolha depois de ver o que os outros fizeram.
Pense assim: Pense no trânsito de São Paulo: se todo mundo usa o Waze e escolhe a rota mais rápida, nenhum motorista individual consegue melhorar seu tempo mudando de caminho — porque todas as alternativas já estão igualmente congestionadas. Isso é um equilíbrio de Nash do trânsito (e uma versão do paradoxo de Braess).
Por que isso importa: O conceito de equilíbrio de Nash é a pedra angular da regulação de mercados, do desenho de leilões (como os de espectro da Anatel) e da política antitruste do CADE. Se quiser prever como firmas se comportarão, procure o Nash.
O que Nash não garante: O equilíbrio de Nash não implica eficiência (o Dilema dos Prisioneiros mostra isso), nem unicidade (a Batalha dos Sexos tem três equilíbrios), nem que os jogadores o encontrem de fato. É um conceito de consistência, não de otimalidade.
Exemplos clássicos¶
Batalha dos Sexos (BoS)
Dois parceiros querem sair juntos, mas um prefere futebol (F) e o outro prefere cinema (C).
| Jogador 2: F | Jogador 2: C | |
|---|---|---|
| Jogador 1: F | \((3, 1)\) | \((0, 0)\) |
| Jogador 1: C | \((0, 0)\) | \((1, 3)\) |
Existem dois equilíbrios de Nash em estratégias puras: \((F, F)\) e \((C, C)\), e um em estratégias mistas (derivado na Seção 9a.4). O jogo ilustra o problema de coordenação quando existem múltiplos equilíbrios.
Hawk-Dove (Falcão-Pomba)
Dois animais (ou firmas) disputam um recurso de valor \(V\). Cada um pode ser agressivo (Hawk, H) ou passivo (Dove, D).
| Jogador 2: H | Jogador 2: D | |
|---|---|---|
| Jogador 1: H | \(\left(\frac{V-C}{2}, \frac{V-C}{2}\right)\) | \((V, 0)\) |
| Jogador 1: D | \((0, V)\) | \(\left(\frac{V}{2}, \frac{V}{2}\right)\) |
Quando \(C > V\) (custo do conflito excede o valor do recurso), existem dois equilíbrios em puras — \((H, D)\) e \((D, H)\) — e um em mistas. A versão biológica desse jogo (Maynard Smith e Price, 1973) está na origem da teoria dos jogos evolutiva.
9a.4 Estratégias Mistas¶
Estratégia mista
Uma estratégia mista para o jogador \(i\) é uma distribuição de probabilidade \(\sigma_i \in \Delta(S_i)\) sobre o conjunto de estratégias puras \(S_i\). Se \(S_i = \{s_i^1, s_i^2, \ldots, s_i^{m_i}\}\), então:
O payoff esperado do jogador \(i\) sob o perfil de estratégias mistas \(\sigma = (\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\) é:
Princípio da indiferença¶
Em um equilíbrio em estratégias mistas, cada jogador randomiza de tal forma que os outros jogadores ficam indiferentes entre as estratégias puras que recebem probabilidade positiva. Formalmente, se \(\sigma_i^*\) atribui probabilidade positiva a \(s_i^k\), então:
Intuição Econômica: A imprevisibilidade como estratégia
Em uma frase: Jogar de forma imprevisível pode ser a melhor estratégia quando qualquer padrão fixo seria explorado pelo adversário.
Pense assim: Um cobrador de pênaltis que sempre chuta no mesmo canto será facilmente defendido. Por isso, os melhores batedores variam entre esquerda, direita e centro de forma quase aleatória — e a proporção ideal é exatamente aquela que deixa o goleiro indiferente entre os lados. Chiappori, Levitt e Groseclose (2002) confirmaram isso empiricamente com dados de cobranças de pênaltis na Série A italiana e na liga francesa.
Por que isso importa: Estratégias mistas aparecem em fiscalizações da Receita Federal (auditar aleatoriamente para que ninguém saiba se será fiscalizado), em blitz de trânsito — a imprevisibilidade é o que gera o efeito dissuasório — e em licitações onde o lance ótimo envolve randomização.
Cálculo de equilíbrio misto: Batalha dos Sexos
Na Batalha dos Sexos, suponha que o jogador 1 joga F com probabilidade \(p\) e C com probabilidade \(1-p\), enquanto o jogador 2 joga F com probabilidade \(q\) e C com probabilidade \(1-q\).
Para o jogador 2 ser indiferente:
Para o jogador 1 ser indiferente:
Logo, o equilíbrio em estratégias mistas é \(\sigma_1 = (3/4, 1/4)\), \(\sigma_2 = (1/4, 3/4)\). O payoff esperado de cada jogador é \(3/4\), inferior ao payoff em qualquer dos dois equilíbrios puros — a incerteza sobre a coordenação é custosa.
Existência de Equilíbrio (Teorema de Nash)¶
Teorema de Nash (1950)
Todo jogo finito (número finito de jogadores e de estratégias puras para cada jogador) possui pelo menos um equilíbrio de Nash em estratégias mistas.
Demonstração: Existência de equilíbrio de Nash (caso 2×2)
Objetivo: Demonstrar a existência de equilíbrio de Nash em estratégias mistas para um jogo com dois jogadores, cada um com duas estratégias puras.
Considere um jogo \(2 \times 2\) com jogadores 1 e 2, cada um com estratégias \(\{A, B\}\). O jogador 1 escolhe \(A\) com probabilidade \(p \in [0,1]\) e o jogador 2 escolhe \(A\) com probabilidade \(q \in [0,1]\).
Passo 1 — Funções de melhor resposta.
O payoff esperado do jogador 1 é linear em \(p\) (para \(q\) fixo):
A melhor resposta do jogador 1 é:
Passo 2 — Propriedades das correspondências de melhor resposta.
Para cada jogador \(i\), \(BR_i: [0,1] \rightrightarrows [0,1]\) satisfaz: (i) valores não vazios; (ii) valores convexos (intervalos fechados); (iii) gráfico fechado (semicontinuidade superior).
Passo 3 — Teorema do Ponto Fixo de Kakutani.
A correspondência conjunta \(BR(p, q) = BR_1(q) \times BR_2(p)\) mapeia o compacto convexo \([0,1]^2\) em si mesmo com valores não vazios, convexos e gráfico fechado. Pelo Teorema de Kakutani, existe \((p^*, q^*)\) tal que \(p^* \in BR_1(q^*)\) e \(q^* \in BR_2(p^*)\) — um equilíbrio de Nash. \(\blacksquare\)
Caso geral
A demonstração para \(n\) jogadores e \(m\) estratégias segue a mesma lógica, aplicando Kakutani no simplexo \(\Delta(S_1) \times \cdots \times \Delta(S_n)\).
9a.5 Jogos com Ações Contínuas: Oligopólio¶
Muitos jogos de interesse econômico envolvem espaços de estratégias contínuos. Os modelos clássicos de oligopólio são os exemplos paradigmáticos.
Competição de Cournot (quantidades)¶
Duas firmas escolhem simultaneamente as quantidades \(q_1, q_2 \geq 0\). A demanda inversa é \(P(Q) = a - bQ\), onde \(Q = q_1 + q_2\), e o custo marginal é constante e igual a \(c\) para ambas as firmas.
O lucro da firma \(i\) é:
A condição de primeira ordem gera a função de reação (melhor resposta):
O equilíbrio de Nash (Cournot-Nash) é obtido pela interseção das funções de reação:
O lucro de cada firma no equilíbrio é:
Extensão: \(N\) firmas simétricas. Com \(N\) firmas idênticas, o equilíbrio de Cournot é:
Quando \(N \to \infty\), \(P^* \to c\): o resultado converge para competição perfeita.
Extensão: Custos assimétricos. Com custos marginais \(c_1 \neq c_2\):
A firma com menor custo produz mais e obtém lucro maior.
Competição de Bertrand (preços)¶
Duas firmas com produtos homogêneos e custo marginal constante \(c\) escolhem simultaneamente os preços \(p_1, p_2\). Os consumidores compram da firma com menor preço.
O paradoxo de Bertrand: o único equilíbrio de Nash é \(p_1^* = p_2^* = c\), com lucro zero para ambas as firmas — mesmo com apenas dois concorrentes, o resultado é competitivo.
Intuição Econômica: Bertrand vs Cournot — qual modelo usar?
Em uma frase: A variável estratégica da firma — preço ou quantidade — determina radicalmente o equilíbrio do mercado.
Pense assim: Imagine duas padarias vizinhas no mesmo bairro. Se cada uma decide quantos pães assar de manhã (capacidade), estamos no mundo de Cournot: a produção é decidida antes, e o preço se ajusta pela demanda. Se cada uma decide o preço na vitrine a cada hora (e pode atender toda a demanda), estamos no mundo de Bertrand: qualquer diferença de preço desvia todos os clientes.
Quando usar cada modelo:
- Cournot é mais apropriado quando a capacidade é comprometida antes da competição em preços — petróleo, aço, companhias aéreas em rotas com slots limitados.
- Bertrand é mais apropriado quando os preços são flexíveis e a capacidade não é restrição — varejo online, serviços digitais, telecomunicações.
- Bertrand com diferenciação (produtos não homogêneos) elimina o paradoxo e gera lucros positivos — a maioria dos mercados reais.
Por que isso importa para o Brasil: O CADE precisa escolher o modelo correto ao simular fusões. Na aviação (Cournot por slots), fusões têm efeito grande sobre preços; no varejo online (Bertrand com diferenciação), o efeito pode ser menor.
Competição de Stackelberg (líder-seguidora)¶
No modelo de Stackelberg, a firma 1 (líder) escolhe \(q_1\) primeiro, e a firma 2 (seguidora) observa \(q_1\) e escolhe \(q_2\). A solução é por indução retroativa (conceito detalhado no Módulo 9b).
Passo 1 — Seguidora. Dado \(q_1\), a firma 2 maximiza \(\pi_2\):
Passo 2 — Líder. A firma 1 antecipa a reação da firma 2 e maximiza:
A CPO gera (para \(c_1 = c_2 = c\)):
Comparação Cournot vs Stackelberg vs Monopólio vs Competição Perfeita:
| Modelo | \(Q\) total | Preço \(P\) | \(\pi_{\text{líder}}\) | \(\pi_{\text{seguidora}}\) |
|---|---|---|---|---|
| Monopólio | \(\frac{a-c}{2b}\) | \(\frac{a+c}{2}\) | \(\frac{(a-c)^2}{4b}\) | — |
| Stackelberg | \(\frac{3(a-c)}{4b}\) | \(\frac{a+3c}{4}\) | \(\frac{(a-c)^2}{8b}\) | \(\frac{(a-c)^2}{16b}\) |
| Cournot | \(\frac{2(a-c)}{3b}\) | \(\frac{a+2c}{3}\) | \(\frac{(a-c)^2}{9b}\) | \(\frac{(a-c)^2}{9b}\) |
| Comp. Perfeita | \(\frac{a-c}{b}\) | \(c\) | 0 | 0 |
A líder em Stackelberg produz mais e lucra mais que em Cournot. A seguidora produz menos e lucra menos. A quantidade total é maior e o preço é menor — o consumidor prefere Stackelberg a Cournot.
Vantagem do primeiro movimento
A vantagem da líder em Stackelberg vem do comprometimento crível com uma quantidade alta. Se a líder pudesse mudar de ideia depois de observar \(q_2\), o resultado voltaria a ser Cournot. O comprometimento (ex: investimento irreversível em capacidade) é o que confere poder à líder.
Box Brasil: Cartéis de Postos de Combustíveis e o CADE¶
Box Brasil — Cartéis de postos de combustíveis: conluio, detecção e punição
O mercado de revenda de combustíveis no Brasil é um dos campos mais ativos de investigação antitruste pelo CADE (Conselho Administrativo de Defesa Econômica). A frequência de cartéis nesse setor oferece um laboratório natural para a teoria dos jogos.
Por que o conluio é frequente nesse mercado?
A teoria dos jogos repetidos (Módulo 9b) identifica condições que facilitam a sustentação de conluio como equilíbrio: (i) poucas firmas no mercado relevante; (ii) produto homogêneo (gasolina comum é igual em qualquer posto); (iii) preços facilmente observáveis (placas na entrada); (iv) interação repetida entre os mesmos competidores. O mercado de revenda de combustíveis em muitas cidades brasileiras satisfaz todas essas condições.
Casos recentes
Apenas entre 2024 e 2025, o CADE condenou cartéis de revenda de combustíveis em três estados:
- Distrito Federal (2025): sete redes de postos condenadas, com multas superiores a R$ 150 milhões.
- Paraná (2024): 12 postos e 2 pessoas físicas condenados em Francisco Beltrão, com multas de R$ 59 milhões.
- Santa Catarina (2024): cartel em Joinville condenado com multas de R$ 55 milhões.
Mecanismos de sustentação do cartel
Na linguagem da teoria dos jogos, os postos operam uma estratégia do tipo grim trigger informal: todos praticam preços elevados e, se algum desviar, os demais retomam a competição. A transparência dos preços (afixados em totens luminosos) funciona como mecanismo de monitoramento — qualquer desvio é imediatamente detectável.
O papel do CADE e do programa de leniência
O CADE atua como um mecanismo institucional que torna o conluio mais custoso: ao impor multas elevadas (até 20% do faturamento bruto), a autoridade antitruste reduz o payoff esperado da cooperação ilícita. O programa de leniência oferece redução de pena ao primeiro membro do cartel que denunciar, explorando a mesma lógica do Dilema dos Prisioneiros: a tentação de trair o cartel em troca de imunidade desestabiliza o acordo.
Fonte: CADE, decisões do Tribunal Administrativo (2024–2025).
Box Brasil: O Oligopólio Aéreo Brasileiro¶
Box Brasil — Gol, Latam e Azul: competição estratégica a 10.000 metros
O transporte aéreo doméstico no Brasil é um dos mercados mais concentrados do país e ilustra diretamente os modelos de oligopólio.
Concentração extrema
Dados da ANAC para 2024 mostram que três companhias detêm 98,9% do mercado doméstico:
| Companhia | Market share (2024) |
|---|---|
| Latam | 39,1% |
| Gol | 30,7% |
| Azul | 29,7% |
| Outras | 0,5% |
Qual modelo se aplica?
- Em rotas com concorrência direta (São Paulo–Rio), a competição se aproxima de Bertrand com diferenciação: preços são a variável estratégica.
- Em rotas com slots limitados (Congonhas, Santos Dumont), a competição se aproxima de Cournot: a oferta de assentos é decidida antecipadamente.
- A dinâmica de liderança de preço em promoções evoca o modelo de Stackelberg, com a Latam frequentemente agindo como líder.
Barreiras à entrada e credibilidade de ameaças
A entrada de novas companhias é dificultada por custos afundados (frota, certificação, slots), economias de escala e rede de rotas. A história do setor inclui episódios de guerras de preço que podem ser interpretados como estratégias de deterrência: companhias incumbentes praticaram preços agressivos em rotas disputadas por entrantes (Webjet, Avianca Brasil).
Fonte: ANAC, Relatório de Demanda e Oferta do Transporte Aéreo 2024; CADE, Cadernos do CADE — Mercado de Transporte Aéreo.
R Interativo: Friend or Foe — Dilema dos Prisioneiros Real¶
R Interativo — Dados reais do game show Friend or Foe (Adams, 2025, Cap. 1)
No início dos anos 2000, o programa de TV Friend or Foe (Game Show Network) colocava duplas de participantes para jogar um Dilema dos Prisioneiros real — o Trust Box — com milhares de dólares em jogo. Cada jogador escolhia "Friend" (cooperar) ou "Foe" (trair). Se ambos cooperavam, dividiam o prêmio igualmente; se um traía e o outro cooperava, o traidor ficava com tudo; se ambos traíam, ninguém recebia nada.
Os dados de 227 episódios (Kalist, 2004; List, 2006) estão disponíveis no pacote R Ecdat. Explore: qual fração coopera? A decisão depende do valor em jogo? Da idade?
glm(play == "friend" ~ age + cash, family=binomial, data=df) para estimar um modelo logit.R Interativo: Equilíbrio de Cournot com Simulação¶
R Interativo — Cournot Duopólio: equilíbrio analítico e gráfico (Adams, 2025, Cap. 3)
O modelo de Cournot com demanda linear admite solução analítica. Neste box interativo, você pode alterar os parâmetros de demanda (\(a\), \(b\)) e os custos marginais (\(c_1\), \(c_2\)) para explorar como o equilíbrio muda. O R calcula quantidades, preço e lucros de equilíbrio e plota as funções de reação.
Exercício sugerido: mude \(c_2\) para 40 e compare com o caso simétrico. A firma de custo alto produz menos — qual é o efeito sobre o preço de mercado?
a, b, c1, c2 e re-execute. Baseado em Adams (2025, Cap. 3).Exercícios Resolvidos¶
Exercício Resolvido 9a.1 — Equilíbrios de Nash na Batalha dos Sexos
Enunciado: Encontre todos os equilíbrios de Nash (em puras e em mistas) do seguinte jogo simultâneo:
| Jogador 2: E | Jogador 2: D | |
|---|---|---|
| Jogador 1: C | \((2, 1)\) | \((0, 0)\) |
| Jogador 1: B | \((0, 0)\) | \((1, 2)\) |
Resolução:
Passo 1 — Equilíbrios em estratégias puras
- \((C, E)\): J1 obtém 2 (desviar → 0). J2 obtém 1 (desviar → 0). Nash ✓
- \((C, D)\): J1 obtém 0 (desviar → 1). Não é Nash.
- \((B, E)\): J1 obtém 0 (desviar → 2). Não é Nash.
- \((B, D)\): J1 obtém 1 (desviar → 0). J2 obtém 2 (desviar → 0). Nash ✓
Passo 2 — Equilíbrio em estratégias mistas
Seja \(p = \Pr(\text{J1 joga C})\) e \(q = \Pr(\text{J2 joga E})\).
Para J2 ser indiferente: \(p \cdot 1 = (1-p) \cdot 2 \implies p = 2/3\)
Para J1 ser indiferente: \(2q = (1-q) \implies q = 1/3\)
Resultado: Três equilíbrios de Nash: \((C, E)\), \((B, D)\) e o misto \(\sigma_1 = (2/3, 1/3)\), \(\sigma_2 = (1/3, 2/3)\) com payoffs esperados \(U_1 = U_2 = 2/3\).
Interpretação: Este é um jogo de coordenação com preferências conflitantes. Múltiplos equilíbrios explicam por que convenções, normas (ABNT, INMETRO) e regulamentações são valiosas — funcionam como "pontos focais" (Schelling, 1960).
Exercício Resolvido 9a.2 — Cournot assimétrico no setor aéreo
Enunciado: Duas companhias aéreas competem à la Cournot em uma rota doméstica. A demanda inversa é \(P(Q) = 500 - 2Q\), onde \(Q = q_1 + q_2\) (em milhares de assentos/mês). A incumbente tem custo marginal \(c_1 = 100\) e a entrante tem \(c_2 = 150\). Encontre o equilíbrio de Cournot-Nash.
Resolução:
Passo 1 — Funções de reação
CPO da firma 1: \(500 - 4q_1 - 2q_2 - 100 = 0 \implies q_1^*(q_2) = 100 - q_2/2\)
CPO da firma 2: \(500 - 2q_1 - 4q_2 - 150 = 0 \implies q_2^*(q_1) = 87{,}5 - q_1/2\)
Passo 2 — Equilíbrio
Substituindo: \(q_1 = 100 - (87{,}5 - q_1/2)/2 = 56{,}25 + q_1/4\), logo \(q_1^* = 75\), \(q_2^* = 50\).
Passo 3 — Preço e lucros
\(Q^* = 125\), \(P^* = 250\), \(\pi_1 = 150 \times 75 = 11.250\), \(\pi_2 = 100 \times 50 = 5.000\).
Interpretação: A firma mais eficiente produz mais e lucra mais. Na aviação brasileira, a Latam tem historicamente custos por ASK menores, o que contribui para seu market share de 39,1%.
Exercício Resolvido 9a.3 — Stackelberg no mercado de cervejas
Enunciado: A Ambev (líder) e a Heineken (seguidora) competem à la Stackelberg no mercado de cerveja premium. A demanda inversa é \(P = 20 - Q\) (R$/litro, em milhões de litros/mês), com \(c_1 = c_2 = 4\).
(a) Encontre o equilíbrio de Stackelberg. (b) Compare com Cournot.
Resolução:
(a) Stackelberg
Seguidora: \(q_2^*(q_1) = (20 - 4 - q_1)/2 = 8 - q_1/2\)
Líder: \(\pi_1 = (20 - q_1 - 8 + q_1/2 - 4)q_1 = (8 - q_1/2)q_1\)
CPO: \(8 - q_1 = 0 \implies q_1^S = 8\), \(q_2^S = 4\)
\(Q^S = 12\), \(P^S = 8\), \(\pi_1^S = 32\), \(\pi_2^S = 16\)
(b) Cournot
\(q_1^C = q_2^C = 16/3 \approx 5{,}33\), \(Q^C = 32/3 \approx 10{,}67\), \(P^C = 28/3 \approx 9{,}33\)
\(\pi_1^C = \pi_2^C = 256/9 \approx 28{,}4\)
Comparação:
| Stackelberg | Cournot | |
|---|---|---|
| \(q_1\) | 8 | 5,33 |
| \(q_2\) | 4 | 5,33 |
| Preço | R$ 8,00 | R$ 9,33 |
| \(\pi_{\text{líder}}\) | 32 | 28,4 |
| \(\pi_{\text{seguidora}}\) | 16 | 28,4 |
A líder ganha (+12,5%), a seguidora perde (–43,7%), e o consumidor ganha (preço menor, quantidade maior).
Exercícios¶
Exercício 9a.1. Considere o seguinte jogo simultâneo:
| Jogador 2: L | Jogador 2: R | |
|---|---|---|
| Jogador 1: U | \((4, 3)\) | \((1, 5)\) |
| Jogador 1: D | \((3, 1)\) | \((2, 2)\) |
(a) Existem estratégias estritamente dominantes? Justifique.
(b) Encontre todos os equilíbrios de Nash em estratégias puras.
(c) Encontre o equilíbrio de Nash em estratégias mistas e calcule os payoffs esperados.
Exercício 9a.2. Duas firmas idênticas competem à la Cournot com demanda inversa \(P(Q) = 120 - Q\) e custo marginal \(c = 30\).
(a) Derive as funções de melhor resposta e encontre o equilíbrio de Nash.
(b) Compare o resultado com monopólio e competição perfeita.
(c) Agora suponha que a firma 1 move primeiro (Stackelberg). Encontre o equilíbrio e compare.
Exercício 9a.3. No modelo de Bertrand com diferenciação, as demandas são \(q_1 = a - bp_1 + dp_2\) e \(q_2 = a - bp_2 + dp_1\), com \(b > d > 0\) e custo marginal \(c\).
(a) Derive as funções de reação em preços e mostre que são crescentes (complementos estratégicos).
(b) Encontre o equilíbrio de Nash e mostre que os lucros são positivos (diferentemente do Bertrand homogêneo).
(c) O que acontece quando \(d \to 0\)? E quando \(d \to b\)?
Exercício 9a.4. (Jogo Bayesiano — prévia do Módulo 9c) Uma firma incumbente pode ser forte (\(\theta_F\), com probabilidade 0,6) ou fraca (\(\theta_W\), com probabilidade 0,4). Uma entrante decide se entra.
- Não entra: I obtém 10, E obtém 0.
- Entra + I forte: payoffs (3, –2).
- Entra + I fraca: payoffs (2, 4).
(a) Calcule o lucro esperado de E se entrar.
(b) Encontre o Equilíbrio de Nash Bayesiano.
(c) I teria incentivo para sinalizar força? (Tema do Módulo 9d.)
Exercício 9a.5. (Sinalização — prévia do Módulo 9d) No modelo de Spence, trabalhadores têm produtividade \(\theta_H = 2\) (prob. 0,5) ou \(\theta_L = 1\) (prob. 0,5). O custo da educação é \(c(e, \theta) = e/\theta\). Encontre um equilíbrio separador e verifique que nenhum tipo desvia.
Vem, ANPEC!¶
ANPEC 2021 — Questão 11
Com relação à Teoria dos Jogos, julgue os itens a seguir:
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 0 | A ordem em que estratégias fracamente dominadas são eliminadas é relevante, pois pode afetar o conjunto das estratégias sobreviventes. |
| 1 | No jogo abaixo, T, M, B são estratégias de J1 e E, C, D de J2. As estratégias racionalizáveis são T, M, E. |
Jogo do Item 1:
| J2: E | J2: C | J2: D | |
|---|---|---|---|
| J1: T | \((2, 0)\) | \((1, 1)\) | \((4, 2)\) |
| J1: M | \((3, 4)\) | \((1, 2)\) | \((2, 3)\) |
| J1: B | \((1, 3)\) | \((0, 2)\) | \((3, 0)\) |
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 2 | No equilíbrio de Nash em mistas do jogo abaixo, J1 joga T com probabilidade \(1/3\) e B com \(2/3\), J2 joga E com \(2/3\) e D com \(1/3\). |
| J2: E | J2: D | |
|---|---|---|
| J1: T | \((2, 0)\) | \((4, 2)\) |
| J1: B | \((3, 4)\) | \((2, 3)\) |
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 3 | No jogo abaixo existe um único equilíbrio de Nash em puras. |
| J2: E | J2: D | |
|---|---|---|
| J1: T | \((-1, -1)\) | \((4, 0)\) |
| J1: B | \((0, 4)\) | \((2, 2)\) |
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 4 | Todo jogo na forma normal possui um equilíbrio de Nash em estratégias mistas. |
Gabarito
Respostas: 10100
-
Item 0 — V: Resultado clássico. Para estratégias estritamente dominadas, a ordem não importa. Para fracamente dominadas, a ordem pode alterar o conjunto sobrevivente.
-
Item 1 — F: Eliminando B (estritamente dominada por T), resta o jogo 2×3. C é estritamente dominada por uma mistura de E e D para J2. Eliminando C, sobram \(\{T, M\} \times \{E, D\}\) — nenhuma é dominada. As racionalizáveis são \(\{T, M, E, D\}\), não apenas \(\{T, M, E\}\).
-
Item 2 — V: Para J2 ser indiferente: \(U_2(E; p) = 4(1-p)\) e \(U_2(D; p) = 2p + 3(1-p) = 3-p\). Igualando: \(4-4p = 3-p \implies p = 1/3\). Para J1: \(U_1(T; q) = 2q + 4(1-q) = 4-2q\) e \(U_1(B; q) = 3q + 2(1-q) = 2+q\). Igualando: \(4-2q = 2+q \implies q = 2/3\). Correto.
-
Item 3 — F: Existem dois EN em puras: \((T, D)\) com payoffs \((4, 0)\) e \((B, E)\) com payoffs \((0, 4)\).
-
Item 4 — F: O Teorema de Nash garante existência para jogos finitos. Jogos com espaços infinitos de estratégias podem não ter equilíbrio sem condições adicionais (compacidade, continuidade — Teorema de Glicksberg).
ANPEC 2022 — Questão 11
Com relação ao oligopólio, julgue os itens:
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 0 | Em um Duopólio de Cournot com \(c_1(q_1) = q_1^2/2\), \(c_2(q_2) = q_2^2\) e \(P(Q) = 11 - Q\), o equilíbrio é \((q_1^*, q_2^*; P^*) = (3, 2; 6)\). |
| 1 | Ao comparar oligopolização pelo Índice de Lerner, a indústria mais oligopolizada tem necessariamente maior HHI. |
| 2 | No equilíbrio de Stackelberg, a seguidora lucra mais que em Cournot. |
| 3 | No equilíbrio de Stackelberg, a isoprofit da líder tangencia a curva de reação da seguidora. |
| 4 | Duopólio de Bertrand repetido infinitamente: se competir dá lucro 0, cartel dá 40 cada, desviar dá 200, então a menor taxa de desconto para sustentar o cartel com GRIM é \(\delta = 0{,}25\). |
Gabarito
Respostas: 10010
-
Item 0 — V: Firma 1: CPO \(11 - 2q_1 - q_2 - q_1 = 0 \implies q_1 = (11-q_2)/3\). Firma 2: CPO \(11 - q_1 - 2q_2 - 2q_2 = 0 \implies q_2 = (11-q_1)/4\). Resolvendo: \(q_1 = 3\), \(q_2 = 2\), \(P = 6\). ✓
-
Item 1 — F: No Cournot, \(L = \text{HHI}/|\varepsilon|\). Mesmo HHI pode gerar Lerner diferente se as elasticidades diferem.
-
Item 2 — F: A seguidora produz menos que em Cournot e obtém lucro menor. (Confira na tabela comparativa da Seção 9a.5.)
-
Item 3 — V: A líder maximiza lucro ao longo da curva de reação da seguidora — ponto de tangência com a isoprofit. (Visível na Figura 9a.4.)
-
Item 4 — F: Condição: \(40/(1-\delta) \geq 200 \implies \delta \geq 0{,}80\), não \(0{,}25\).
Apêndice: A Pesquisa em Ação¶
Bresnahan, Timothy F.; Reiss, Peter C. (1991). Entry and Competition in Concentrated Markets. Journal of Political Economy, 99(5), 977–1009.
Pergunta central: Quantas firmas são necessárias para que um mercado se torne efetivamente competitivo?
Método: Modelo econométrico de entrada em mercados locais geograficamente isolados nos EUA (cidades pequenas com 1 a 5 firmas), usando dados de cinco setores — médicos, dentistas, farmácias, encanadores e lojas de pneus. A ideia-chave: se o mercado precisa ser proporcionalmente maior para sustentar 3 firmas do que para 2, é porque a terceira firma reduz as margens.
Resultado: A transição de monopólio para duopólio e de duopólio para triopólio gera reduções significativas nas margens. A partir de 3 a 5 firmas, o tamanho por firma se estabiliza — a maior parte dos ganhos competitivos ocorre com as primeiras entrantes.
Relevância: Para o Brasil, os resultados têm implicações diretas para análise do CADE em atos de concentração. A metodologia é aplicável a mercados de combustíveis, farmácias e serviços de saúde no interior. O artigo testa empiricamente as previsões de Cournot e Bertrand (Seção 9a.5).
Adams, Brian W. (2025). Game Theory for Applied Econometricians: Data Analytics with R. Boca Raton: CRC Press. Capítulos 1–5.
Escopo: Parte I do livro cobre jogos estáticos com informação completa — a matéria deste módulo — com ênfase em aplicações empíricas e análise de dados em R.
Contribuição pedagógica: Adams conecta cada conceito teórico a um dataset e um script R. O Capítulo 1 analisa o game show Friend or Foe (Dilema dos Prisioneiros com dinheiro real); o Capítulo 2 estuda entrada de firmas no mercado de pneus; o Capítulo 3 modela competição de hamburguers; o Capítulo 5 testa estratégias mistas com dados de pênaltis.
Relevância: Os R Boxes interativos deste módulo (9a.1 e 9a.2) são inspirados nos scripts de Adams, adaptados para execução no navegador via WebR. Os dados do pacote Ecdat permitem que o leitor reproduza e modifique as análises sem instalar nada.
Chiappori, Pierre-André; Levitt, Steven; Groseclose, Tim (2002). Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous. Quarterly Journal of Economics, 117(4), 1138–1147.
Pergunta central: Os jogadores de futebol profissional jogam estratégias mistas consistentes com a teoria em cobranças de pênalti?
Método: Dados de 459 pênaltis da Série A italiana e da liga francesa. Cada cobrança é modelada como um jogo 2×2 (cobrador escolhe lado, goleiro escolhe lado). A teoria prevê que as taxas de sucesso devem ser iguais em todos os lados — caso contrário, o cobrador deveria ajustar suas probabilidades.
Resultado: As taxas de sucesso dos cobradores são estatisticamente indistinguíveis entre esquerda e direita, consistente com a teoria de estratégias mistas. Os cobradores não exibem padrões seriais exploráveis.
Relevância: Evidência empírica direta do princípio da indiferença (Seção 9a.4) em um contexto de alto incentivo financeiro.
Referências do Capítulo¶
- Adams, Brian W. 2025. Game Theory for Applied Econometricians: Data Analytics with R. Boca Raton: CRC Press.
- Axelrod, Robert. 1984. The Evolution of Cooperation. New York: Basic Books.
- Bertrand, Joseph. 1883. "Théorie mathématique de la richesse sociale." Journal des Savants 67: 499–508.
- Bresnahan, Timothy F., e Peter C. Reiss. 1991. "Entry and Competition in Concentrated Markets." Journal of Political Economy 99 (5): 977–1009. DOI
- Chiappori, Pierre-André, Steven Levitt, e Tim Groseclose. 2002. "Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous." Quarterly Journal of Economics 117 (4): 1138–1147. DOI
- Cournot, Antoine-Augustin. 1838. Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses. Paris: Hachette.
- Fudenberg, Drew, e Jean Tirole. 1991. Game Theory. Cambridge, MA: MIT Press.
- Gibbons, Robert. 1992. Game Theory for Applied Economists. Princeton: Princeton University Press.
- Kalist, David E. 2004. "Data from the Television Game Show 'Friend or Foe?'" Journal of Statistics Education 12 (3). DOI
- List, John A. 2006. "Friend or Foe? A Natural Experiment of the Prisoner's Dilemma." Review of Economics and Statistics 88 (3): 463–471. DOI
- Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, e Jerry R. Green. 1995. Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press. Caps. 7–8.
- Maynard Smith, John, e George R. Price. 1973. "The Logic of Animal Conflict." Nature 246: 15–18. DOI
- Nash, John F. 1950. "Equilibrium Points in N-Person Games." Proceedings of the National Academy of Sciences 36 (1): 48–49. DOI
- Nash, John F. 1951. "Non-Cooperative Games." Annals of Mathematics 54 (2): 286–295. DOI
- Osborne, Martin J., e Ariel Rubinstein. 1994. A Course in Game Theory. Cambridge, MA: MIT Press.
- Schelling, Thomas C. 1960. The Strategy of Conflict. Cambridge, MA: Harvard University Press.
- Selten, Reinhard. 1965. "Spieltheoretische Behandlung eines Oligopolmodells mit Nachfrageträgheit." Zeitschrift für die gesamte Staatswissenschaft 121: 301–324.
- Stackelberg, Heinrich von. 1934. Marktform und Gleichgewicht. Vienna: Springer.
- Von Neumann, John, e Oskar Morgenstern. 1944. Theory of Games and Economic Behavior. Princeton: Princeton University Press.