Capítulo 4 — O Consumidor Racional: Escolhendo o Melhor Possível¶

Introdução¶

No Capítulo 3, descrevemos o que o consumidor deseja por meio das preferências e da função de utilidade. Agora enfrentamos a questão central: o que ele de fato escolhe, dados os preços e sua renda? O problema do consumidor consiste em maximizar a utilidade sujeita à restrição orçamentária — um problema de otimização com restrição de desigualdade que, sob hipóteses padrão, reduz-se a uma igualdade.

Este capítulo desenvolve as ferramentas analíticas fundamentais da teoria do consumidor: a demanda marshalliana (ou walrasiana), a função de utilidade indireta, o problema dual de minimização do dispêndio, a função dispêndio, a demanda hicksiana (ou compensada) e os resultados de dualidade que conectam essas funções. A Identidade de Roy e o Lema de Shephard aparecem como consequências naturais dessa estrutura dual.

A exposição segue Nicholson e Snyder (2017, Cap. 4), complementada por Varian (2015, Caps. 5-7) e Mas-Colell, Whinston e Green (1995, Caps. 2-3).

4.1 O Problema do Consumidor¶

O consumidor resolve o seguinte problema de maximização da utilidade:

\[ \max_{x_1, x_2} \; u(x_1, x_2) \quad \text{sujeito a} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq I, \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0, \]

onde $p_1, p_2 > 0$ são os preços dos bens e $I > 0$ é a renda nominal do consumidor.

Conjunto orçamentário

O conjunto orçamentário é definido como:

\[ B(p_1, p_2, I) = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2_+ : p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq I\}. \]

A fronteira deste conjunto, $p_1 x_1 + p_2 x_2 = I$, é a reta orçamentária. Sua inclinação é $-p_1/p_2$, refletindo o custo de oportunidade de uma unidade do bem 1 em termos do bem 2.

Sob monotonicidade das preferências, a restrição orçamentária é satisfeita com igualdade na solução ótima: o consumidor gasta toda a renda.

Ajuste renda e preços com os sliders. Observe como a reta orçamentária se desloca e como a inclinação reflete o custo de oportunidade.

4.2 Análise Gráfica com Dois Bens¶

Geometricamente, o consumidor busca a curva de indiferença mais alta que ainda toca o conjunto orçamentário. Para uma solução interior ($x_1^* > 0$ e $x_2^* > 0$), a condição necessária é a tangência:

\[ \text{TMS}_{12} = \frac{p_1}{p_2}. \]

Condição de tangência

No ponto ótimo interior, a taxa marginal de substituição iguala a razão de preços. A taxa de troca subjetiva do consumidor (TMS) coincide com a taxa de troca objetiva dada pelo mercado ($p_1/p_2$). Se a TMS excedesse $p_1/p_2$, o consumidor poderia aumentar sua utilidade comprando mais do bem 1 e menos do bem 2.

A condição de tangência pode ser reescrita em termos de utilidade marginal ponderada pelo preço:

\[ \frac{\text{UMg}_1}{p_1} = \frac{\text{UMg}_2}{p_2}. \]

Esta é a lei da utilidade marginal ponderada igualada: no ótimo, a última unidade monetária gasta em cada bem produz o mesmo incremento de utilidade.

Soluções de canto

Nem todas as soluções são interiores. Para substitutos perfeitos, por exemplo, o consumidor tipicamente consome apenas o bem com maior razão $a_i/p_i$. Soluções de canto ocorrem quando a TMS no ponto $x_i = 0$ já é inferior (ou superior) à razão de preços, de modo que a condição de tangência não se verifica em nenhum ponto interior.

Varie os preços, a renda e o parâmetro α para visualizar a tangência entre a curva de indiferença e a reta orçamentária. O ponto ótimo é calculado analiticamente.

4.3 O Caso com $n$ Bens — O Lagrangeano¶

Para $n$ bens, o problema do consumidor é:

\[ \max_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n_+} \; u(\mathbf{x}) \quad \text{sujeito a} \quad \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \leq I. \]

Montamos o lagrangeano:

\[ \mathcal{L}(\mathbf{x}, \lambda) = u(\mathbf{x}) + \lambda \left(I - \sum_{i=1}^{n} p_i x_i\right). \]

As condições de primeira ordem (CPOs) para uma solução interior são:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} = \frac{\partial u}{\partial x_i} - \lambda p_i = 0, \quad i = 1, 2, \ldots, n, \]

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = I - \sum_{i=1}^{n} p_i x_i = 0. \]

Das CPOs, obtemos:

\[ \frac{\text{UMg}_i}{p_i} = \lambda, \quad \forall \, i. \]

O multiplicador de Lagrange $\lambda$ tem interpretação econômica precisa: é a utilidade marginal da renda, ou seja, o aumento na utilidade máxima quando a renda aumenta em uma unidade marginal.

Condições de segunda ordem

Para garantir que o ponto encontrado é um máximo, exige-se que a matriz hessiana orlada seja definida negativa sob a restrição. Sob preferências estritamente quase-côncavas (curvas de indiferença estritamente convexas), as condições de segunda ordem são automaticamente satisfeitas.

Demanda Marshalliana¶

A solução do problema de maximização da utilidade define as funções de demanda marshalliana (ou walrasiana):

\[ x_i^* = x_i(p_1, p_2, \ldots, p_n, I), \quad i = 1, \ldots, n. \]

Essas funções expressam a quantidade ótima de cada bem como função dos preços e da renda.

Propriedades da demanda marshalliana:

Homogeneidade de grau zero: $x_i(t\mathbf{p}, tI) = x_i(\mathbf{p}, I)$ para todo $t > 0$. Duplicar todos os preços e a renda não altera as quantidades demandadas.
Lei de Walras: $\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}(\mathbf{p}, I) = I$. O consumidor gasta toda a renda.
Negatividade do efeito substituição (via equação de Slutsky — Capítulo 5).

4.4 Função de Utilidade Indireta¶

Função de utilidade indireta

A função de utilidade indireta é o valor ótimo da utilidade como função dos preços e da renda:

\[ V(p_1, p_2, I) = u\big(x_1^*(p_1, p_2, I), \; x_2^*(p_1, p_2, I)\big) = \max_{\mathbf{x} \in B(\mathbf{p}, I)} u(\mathbf{x}). \]

Propriedades de $V(\mathbf{p}, I)$:

Homogênea de grau zero em $(\mathbf{p}, I)$: duplicar preços e renda não altera a utilidade máxima alcançável.
Não crescente em $p_i$: um aumento no preço de qualquer bem reduz (ou mantém) o nível máximo de utilidade.
Não decrescente em $I$: mais renda expande o conjunto orçamentário e permite alcançar (ao menos) o mesmo nível de utilidade.
Quase-convexa em $\mathbf{p}$: o conjunto $\{\mathbf{p} : V(\mathbf{p}, I) \leq \bar{v}\}$ é convexo.
Contínua em $(\mathbf{p}, I)$ para $\mathbf{p} \gg 0$ e $I > 0$.

Exemplo: Cobb-Douglas

Para $u(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b$ com $a + b = 1$, as demandas marshallianas são $x_1^* = aI/p_1$ e $x_2^* = bI/p_2$. A função de utilidade indireta é:

\[ V(p_1, p_2, I) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^a \left(\frac{b}{p_2}\right)^b \cdot I. \]

Note que $V$ é linear em $I$ e decrescente em cada preço.

4.5 O Princípio do Montante Fixo (Lump Sum Principle)¶

Proposição 4.1 — Princípio do montante fixo

Um imposto sobre a renda (montante fixo, lump sum) que arrecada a mesma receita que um imposto específico sobre um bem deixa o consumidor em um nível de utilidade pelo menos tão alto quanto o imposto específico.

Intuição: O imposto específico sobre o bem 1 (digamos, de valor $t$ por unidade) altera a razão de preços, distorcendo a escolha do consumidor. O imposto lump sum equivalente desloca a reta orçamentária paralelamente, sem distorcer preços relativos. O consumidor enfrenta a mesma redução de poder aquisitivo, mas pode realocar livremente entre os bens.

Formalmente, seja a cesta ótima sob o imposto específico $(x_1^t, x_2^t)$. A receita arrecadada é $R = t \cdot x_1^t$. Sob o imposto lump sum de valor $R$, a restrição orçamentária é:

\[ p_1 x_1 + p_2 x_2 = I - R. \]

A cesta $(x_1^t, x_2^t)$ satisfaz esta restrição (verifique!), mas não é necessariamente ótima sob ela, pois os preços relativos são diferentes. Logo, a cesta ótima sob o lump sum produz utilidade pelo menos igual.

Limitações do princípio

O resultado pressupõe informação perfeita, ausência de custos administrativos e que o imposto lump sum seja viável. Na prática, impostos lump sum são frequentemente considerados injustos ou politicamente inviáveis. A tributação ótima (Ramsey, Mirrlees) busca conciliar eficiência e equidade sob restrições informacionais.

Compare o imposto unitário com o imposto lump sum de mesma receita. Note que o lump sum sempre gera utilidade igual ou superior.

4.6 Minimização do Dispêndio — O Problema Dual¶

O dual do problema de maximização da utilidade é o problema de minimização do dispêndio (ou minimização do gasto):

\[ \min_{x_1, x_2} \; p_1 x_1 + p_2 x_2 \quad \text{sujeito a} \quad u(x_1, x_2) \geq \bar{u}, \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0. \]

O consumidor busca a forma mais barata de atingir um nível de utilidade pré-especificado $\bar{u}$.

O lagrangeano do problema dual é:

\[ \mathcal{L} = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \mu \left(\bar{u} - u(x_1, x_2)\right). \]

As CPOs para solução interior são:

\[ p_i = \mu \frac{\partial u}{\partial x_i}, \quad i = 1, 2, \]

\[ u(x_1, x_2) = \bar{u}. \]

Dividindo as CPOs dos bens 1 e 2:

\[ \frac{p_1}{p_2} = \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2} = \text{TMS}_{12}. \]

A condição de tangência é idêntica à do problema primal, confirmando a equivalência entre os dois problemas.

Demanda Hicksiana (Compensada)¶

A solução do problema de minimização define as funções de demanda hicksiana (ou compensada):

\[ h_i = h_i(p_1, p_2, \bar{u}), \quad i = 1, 2. \]

Propriedades da demanda hicksiana:

Homogênea de grau zero em $\mathbf{p}$: multiplicar todos os preços pelo mesmo fator não altera as quantidades compensadas.
Lei da demanda compensada: $\partial h_i / \partial p_i \leq 0$. A demanda hicksiana é não crescente no próprio preço — não há efeito renda para confundir o resultado.
Simetria e semidefinição negativa da matriz de Slutsky: $\partial h_i / \partial p_j = \partial h_j / \partial p_i$.

4.7 Função Dispêndio¶

Função dispêndio

A função dispêndio é o custo mínimo de atingir o nível de utilidade $\bar{u}$ aos preços vigentes:

\[ E(p_1, p_2, \bar{u}) = p_1 \, h_1(p_1, p_2, \bar{u}) + p_2 \, h_2(p_1, p_2, \bar{u}) = \min_{\mathbf{x}: u(\mathbf{x}) \geq \bar{u}} \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}. \]

Propriedades de $E(\mathbf{p}, \bar{u})$:

Homogênea de grau 1 em $\mathbf{p}$: se todos os preços dobram, o gasto mínimo dobra.
Não decrescente em cada $p_i$: preços maiores implicam gasto maior para o mesmo nível de utilidade.
Estritamente crescente em $\bar{u}$: atingir maior utilidade custa mais.
Côncava em $\mathbf{p}$: esta propriedade é fundamental e reflete o fato de que o consumidor pode realocar consumo quando preços mudam.
Lema de Shephard: $\dfrac{\partial E}{\partial p_i} = h_i(\mathbf{p}, \bar{u})$. A derivada da função dispêndio em relação ao preço $p_i$ fornece a demanda hicksiana do bem $i$.

Exemplo: Cobb-Douglas

Para $u = x_1^a x_2^b$ com $a + b = 1$, a função dispêndio é:

\[ E(p_1, p_2, \bar{u}) = \left(\frac{p_1}{a}\right)^a \left(\frac{p_2}{b}\right)^b \cdot \bar{u}. \]

As demandas hicksianas obtidas pelo Lema de Shephard são:

\[ h_1 = \frac{\partial E}{\partial p_1} = a \left(\frac{p_1}{a}\right)^{a-1} \left(\frac{p_2}{b}\right)^b \cdot \bar{u} \cdot \frac{1}{a} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^b \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^{-b} \cdot \bar{u}. \]

4.8 Dualidade entre Utilidade Indireta e Função Dispêndio¶

A dualidade é a relação de "inversão" entre os problemas primal e dual. As seguintes identidades conectam $V$ e $E$:

\[ V(\mathbf{p}, E(\mathbf{p}, \bar{u})) = \bar{u} \qquad \text{(a renda mínima para atingir } \bar{u} \text{ gera utilidade exatamente } \bar{u}\text{)}, \]

\[ E(\mathbf{p}, V(\mathbf{p}, I)) = I \qquad \text{(o custo mínimo de atingir a utilidade máxima com renda } I \text{ é exatamente } I\text{)}. \]

Essas identidades implicam que $V(\mathbf{p}, \cdot)$ e $E(\mathbf{p}, \cdot)$ são inversas uma da outra (fixados os preços).

Alterne entre os problemas primal e dual. Observe que o mesmo ponto de tangência resolve ambos, e que as identidades de dualidade se verificam numericamente.

Além disso, as demandas marshalliana e hicksiana estão relacionadas:

\[ x_i(\mathbf{p}, I) = h_i(\mathbf{p}, V(\mathbf{p}, I)), \]

\[ h_i(\mathbf{p}, \bar{u}) = x_i(\mathbf{p}, E(\mathbf{p}, \bar{u})). \]

4.9 Identidade de Roy¶

Teorema 4.1 — Identidade de Roy

Se $V(\mathbf{p}, I)$ é diferenciável em $(\mathbf{p}, I)$ e $\partial V / \partial I \neq 0$, então a demanda marshalliana do bem $i$ é dada por:

\[ x_i(\mathbf{p}, I) = -\frac{\partial V / \partial p_i}{\partial V / \partial I}. \]

Demonstração

Partimos da identidade de dualidade:

\[ E(\mathbf{p}, V(\mathbf{p}, I)) = I. \]

Diferenciando ambos os lados em relação a $p_i$, aplicando a regra da cadeia:

\[ \frac{\partial E}{\partial p_i} + \frac{\partial E}{\partial \bar{u}} \cdot \frac{\partial V}{\partial p_i} = 0. \]

Agora utilizamos dois resultados conhecidos:

Pelo Lema de Shephard: $\dfrac{\partial E}{\partial p_i} = h_i(\mathbf{p}, \bar{u})$.
Da dualidade, avaliada no ótimo: $\dfrac{\partial E}{\partial \bar{u}} = \dfrac{1}{\partial V / \partial I}$ (pois $E$ e $V$ são inversas em relação ao segundo argumento, e pela regra da função inversa).

Além disso, no ponto de dualidade, $h_i(\mathbf{p}, V(\mathbf{p}, I)) = x_i(\mathbf{p}, I)$. Substituindo:

\[ x_i(\mathbf{p}, I) + \frac{1}{\partial V / \partial I} \cdot \frac{\partial V}{\partial p_i} = 0. \]

Resolvendo para $x_i$:

\[ x_i(\mathbf{p}, I) = -\frac{\partial V / \partial p_i}{\partial V / \partial I}. \qquad \blacksquare \]

Verificação: caso Cobb-Douglas

Para $u = x_1^a x_2^b$ com $a + b = 1$, temos $V = (a/p_1)^a (b/p_2)^b \cdot I$. Então:

\[ \frac{\partial V}{\partial p_1} = -a \cdot \frac{V}{p_1}, \qquad \frac{\partial V}{\partial I} = \frac{V}{I}. \]

Pela Identidade de Roy:

\[ x_1 = -\frac{-a V/p_1}{V/I} = \frac{aI}{p_1}, \]

que é exatamente a demanda marshalliana Cobb-Douglas.

Tabela Resumo: Funções do Consumidor¶

Função	Definição	Argumentos	Propriedades principais
Utilidade direta $u(\mathbf{x})$	Nível de satisfação da cesta $\mathbf{x}$	Quantidades $\mathbf{x}$	Ordinal; contínua; quase-côncava
Demanda marshalliana $x_i(\mathbf{p}, I)$	Cesta ótima dados preços e renda	Preços $\mathbf{p}$, renda $I$	Homogênea de grau 0 em $(\mathbf{p}, I)$; Lei de Walras
Utilidade indireta $V(\mathbf{p}, I)$	Utilidade máxima dados preços e renda	Preços $\mathbf{p}$, renda $I$	Homogênea de grau 0; decrescente em $\mathbf{p}$; crescente em $I$; quase-convexa em $\mathbf{p}$
Demanda hicksiana $h_i(\mathbf{p}, \bar{u})$	Cesta de custo mínimo para atingir $\bar{u}$	Preços $\mathbf{p}$, utilidade $\bar{u}$	Homogênea de grau 0 em $\mathbf{p}$; $\partial h_i/\partial p_i \leq 0$
Função dispêndio $E(\mathbf{p}, \bar{u})$	Gasto mínimo para atingir $\bar{u}$	Preços $\mathbf{p}$, utilidade $\bar{u}$	Homogênea de grau 1 em $\mathbf{p}$; côncava em $\mathbf{p}$; Lema de Shephard

Relações fundamentais:

$V(\mathbf{p}, E(\mathbf{p}, \bar{u})) = \bar{u}$ e $E(\mathbf{p}, V(\mathbf{p}, I)) = I$
Roy: $x_i = -(\partial V/\partial p_i) / (\partial V/\partial I)$
Shephard: $h_i = \partial E / \partial p_i$
Conexão: $x_i(\mathbf{p}, I) = h_i(\mathbf{p}, V(\mathbf{p}, I))$

Box Brasil: O Impacto do Bolsa Família na Restrição Orçamentária¶

Box Brasil — Transferências condicionadas e escolhas de consumo

O Programa Bolsa Família (PBF), criado em 2003 e reestruturado como Auxílio Brasil em 2021 e novamente como Bolsa Família em 2023, constitui o maior programa de transferência condicionada de renda da América Latina, atingindo cerca de 21 milhões de famílias em 2023.

Efeito sobre a restrição orçamentária: A transferência mensal $T$ desloca a reta orçamentária paralelamente para cima, de $p_1 x_1 + p_2 x_2 = I$ para $p_1 x_1 + p_2 x_2 = I + T$. Note que, ao contrário de subsídios a bens específicos, a transferência em dinheiro não altera preços relativos, funcionando como um lump sum. Pelo princípio do montante fixo (Seção 4.5), essa forma de transferência é mais eficiente do que subsídios a bens específicos, permitindo ao beneficiário maximizar sua utilidade de acordo com suas preferências individuais.

Condicionalidades e o conjunto orçamentário: As condicionalidades do PBF (frequência escolar, vacinação, acompanhamento pré-natal) introduzem restrições adicionais ao problema do consumidor. Do ponto de vista formal, o conjunto orçamentário deixa de ser um simples triângulo: a família deve alocar um montante mínimo em "bens meritórios" (educação, saúde) para receber a transferência. Isso cria uma descontinuidade no conjunto de possibilidades de consumo.

Evidências empíricas sobre padrões de consumo:

Estudos do IPEA mostram que famílias beneficiárias gastam proporcionalmente mais com alimentação (especialmente alimentos de maior qualidade nutricional) e material escolar do que famílias com renda similar não beneficiárias (Soares e Sátyro, 2009).
Evidências de Resende e Oliveira (2008) indicam que a propensão marginal a consumir dos beneficiários é elevada (acima de 0,80), consistente com a teoria microeconômica para famílias na faixa de renda onde a utilidade marginal da renda é alta.
A diversificação da cesta de consumo aumentou significativamente: famílias beneficiárias passaram a incluir frutas, verduras e proteínas animais com maior frequência, refletindo um deslocamento ao longo de curvas de indiferença em direção a cestas mais balanceadas.
Dados do Cadastro Único e da POF 2017-18 mostram que a parcela de gastos com alimentação diminuiu de cerca de 45% para 38% entre beneficiários entre 2008 e 2018, indicando movimento ao longo da curva de Engel.

Do ponto de vista da teoria do consumidor, o PBF exemplifica de forma concreta os conceitos de deslocamento da restrição orçamentária, eficiência de transferências lump sum e a relação entre renda e composição da cesta de consumo.

Fontes: SOARES, F. V.; SÁTYRO, N. O Programa Bolsa Família: desenho institucional, impactos e possibilidades futuras. Texto para Discussão IPEA, n. 1424, 2009. RESENDE, A. C. C.; OLIVEIRA, A. M. H. C. Avaliando resultados de um programa de transferência de renda: o impacto do Bolsa-Escola sobre os gastos das famílias brasileiras. Estudos Econômicos, v. 38, n. 2, p. 235-265, 2008. MDS — Ministério do Desenvolvimento Social, dados administrativos.

Exercícios¶

Exercício 4.1. Considere um consumidor com função de utilidade $u(x_1, x_2) = x_1^{1/2} x_2^{1/2}$, preços $p_1$ e $p_2$ e renda $I$.

(a) Monte o lagrangeano e derive as condições de primeira ordem.

(b) Obtenha as funções de demanda marshalliana $x_1^*(p_1, p_2, I)$ e $x_2^*(p_1, p_2, I)$.

(c) Derive a função de utilidade indireta $V(p_1, p_2, I)$.

(d) Verifique a Identidade de Roy para o bem 1.

Exercício 4.2. Para as mesmas preferências do exercício anterior:

(a) Formule e resolva o problema de minimização do dispêndio.

(b) Obtenha as demandas hicksianas $h_1(p_1, p_2, \bar{u})$ e $h_2(p_1, p_2, \bar{u})$.

(c) Derive a função dispêndio $E(p_1, p_2, \bar{u})$.

(d) Verifique o Lema de Shephard para o bem 1.

(e) Verifique as identidades de dualidade $V(\mathbf{p}, E(\mathbf{p}, \bar{u})) = \bar{u}$ e $E(\mathbf{p}, V(\mathbf{p}, I)) = I$.

Exercício 4.3. Um consumidor tem preferências representadas por $u(x_1, x_2) = \min\{2x_1, x_2\}$, com $p_1 = 4$, $p_2 = 2$ e $I = 120$.

(a) Encontre a cesta ótima. (Dica: no ótimo, $2x_1 = x_2$.)

(b) Calcule a utilidade máxima.

(c) Qual seria a cesta ótima se a renda aumentasse para $I = 180$? Os bens são normais?

Exercício 4.4. O governo está considerando duas políticas para arrecadar R$ 100 de um consumidor com $u(x_1, x_2) = x_1^{0,4} x_2^{0,6}$, $p_1 = 10$, $p_2 = 5$ e $I = 1000$:

(a) Política A: imposto específico de $t$ por unidade sobre o bem 1. Encontre $t$ tal que a receita seja R$ 100.

(b) Política B: imposto lump sum de R$ 100.

(c) Compare os níveis de utilidade do consumidor sob as duas políticas. Qual é preferida pelo consumidor? Este resultado é consistente com o princípio do montante fixo?

Exercício 4.5. Considere um consumidor com utilidade quase-linear $u(x_1, x_2) = 2\sqrt{x_1} + x_2$, preços $p_1, p_2$ e renda $I$.

(a) Derive as demandas marshallianas. Sob quais condições a solução é interior?

(b) Mostre que a demanda pelo bem 1 é independente da renda (para soluções interiores). Interprete.

(c) Derive a função de utilidade indireta e a função dispêndio.

(d) Verifique que, para esse caso particular, as demandas marshalliana e hicksiana do bem 1 são idênticas. Explique por que isso ocorre.

Referências do Capítulo¶

MAS-COLELL, A.; WHINSTON, M. D.; GREEN, J. R. Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press, 1995. Capítulos 2-3.
NICHOLSON, W.; SNYDER, C. M. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. 12. ed. Boston: Cengage Learning, 2017. Capítulo 4.
VARIAN, H. R. Microeconomia: uma abordagem moderna. 9. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015. Capítulos 5-7.
SOARES, F. V.; SÁTYRO, N. O Programa Bolsa Família: desenho institucional, impactos e possibilidades futuras. Texto para Discussão IPEA, n. 1424, 2009.
RESENDE, A. C. C.; OLIVEIRA, A. M. H. C. Avaliando resultados de um programa de transferência de renda: o impacto do Bolsa-Escola sobre os gastos das famílias brasileiras. Estudos Econômicos, v. 38, n. 2, p. 235-265, 2008.

Função	Definição	Argumentos	Propriedades principais
Utilidade direta \(u(\mathbf{x})\)	Nível de satisfação da cesta \(\mathbf{x}\)	Quantidades \(\mathbf{x}\)	Ordinal; contínua; quase-côncava
Demanda marshalliana \(x_i(\mathbf{p}, I)\)	Cesta ótima dados preços e renda	Preços \(\mathbf{p}\), renda \(I\)	Homogênea de grau 0 em \((\mathbf{p}, I)\); Lei de Walras
Utilidade indireta \(V(\mathbf{p}, I)\)	Utilidade máxima dados preços e renda	Preços \(\mathbf{p}\), renda \(I\)	Homogênea de grau 0; decrescente em \(\mathbf{p}\); crescente em \(I\); quase-convexa em \(\mathbf{p}\)
Demanda hicksiana \(h_i(\mathbf{p}, \bar{u})\)	Cesta de custo mínimo para atingir \(\bar{u}\)	Preços \(\mathbf{p}\), utilidade \(\bar{u}\)	Homogênea de grau 0 em \(\mathbf{p}\); \(\partial h_i/\partial p_i \leq 0\)
Função dispêndio \(E(\mathbf{p}, \bar{u})\)	Gasto mínimo para atingir \(\bar{u}\)	Preços \(\mathbf{p}\), utilidade \(\bar{u}\)	Homogênea de grau 1 em \(\mathbf{p}\); côncava em \(\mathbf{p}\); Lema de Shephard