Capítulo 3 — Mais É Melhor — Será?¶

Você entra no supermercado com R$ 200 e sai com um carrinho cheio de escolhas. Arroz ou macarrão? Cerveja ou refrigerante? Marca A ou marca B? Cada decisão revela algo sobre suas preferências — algo que você talvez nem consiga articular, mas que a microeconomia pretende capturar com precisão matemática. A teoria das preferências e da utilidade é o alicerce de tudo que vem depois: curvas de demanda, análise de bem-estar, efeitos de políticas públicas. Se este capítulo for bem assimilado, o resto do livro é consequência. Se não for... bem, vai ser uma longa jornada.

Neste capítulo, formalizamos as preferências individuais por meio de axiomas — regras mínimas de coerência que, quando satisfeitas, permitem representar o comportamento do consumidor por uma função de utilidade. A partir dessa função, construímos progressivamente as ferramentas analíticas centrais: curvas de indiferença, que oferecem uma representação geométrica das preferências; a taxa marginal de substituição (TMS), que quantifica a disposição do consumidor a trocar um bem por outro; e as famílias específicas de funções de utilidade — Cobb-Douglas, CES, substitutos e complementos perfeitos, quase-linear — que dão conteúdo empírico ao arcabouço teórico.

O capítulo segue a abordagem axiomática presente em Mas-Colell, Whinston e Green (1995), complementada pela exposição mais intuitiva de Varian (2015) e Nicholson e Snyder (2017). Para uma abordagem particularmente acessível, com ênfase em intuição econômica e exemplos aplicados, ver Besanko e Braeutigam (2014, Caps. 3–4). Ao final do capítulo, o leitor terá em mãos todo o aparato conceitual necessário para resolver o problema de otimização do consumidor — tema central do Capítulo 4, onde as preferências aqui formalizadas se encontram com a restrição orçamentária para determinar as escolhas ótimas.

3.1 Axiomas da Escolha Racional¶

Antes de construir qualquer modelo de escolha, precisamos responder a uma pergunta incômoda: o que exatamente estamos supondo sobre o consumidor? Não vamos supor que ele é gênio, nem que usa planilha Excel no supermercado. Vamos supor apenas que ele é coerente — que consegue comparar opções e não se contradiz. Essas exigências mínimas de bom senso são formalizadas como axiomas das preferências. A beleza da coisa: desse ponto de partida modesto, toda a teoria do consumidor pode ser construída. É como erguer um arranha-céu a partir de quatro tijolos bem colocados.

Seja $X \subseteq \mathbb{R}^n_+$ o conjunto de consumo, isto é, o conjunto de todas as cestas de bens fisicamente disponíveis ao consumidor. Uma cesta $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ especifica a quantidade de cada um dos $n$ bens — por exemplo, em um modelo com dois bens, $\mathbf{x} = (x_1, x_2)$ poderia representar quilos de arroz e litros de leite. O conjunto de consumo inclui todas as combinações não negativas dessas quantidades, formando o quadrante positivo do espaço $\mathbb{R}^n$.

Uma relação de preferência $\succsim$ sobre $X$ indica que, dadas duas cestas $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$, o consumidor considera $\mathbf{x}$ pelo menos tão boa quanto $\mathbf{y}$. A notação $\mathbf{x} \succsim \mathbf{y}$ se lê "$\mathbf{x}$ é fracamente preferida a $\mathbf{y}$". Note que a relação $\succsim$ é primitiva — ela é o ponto de partida da teoria, não algo derivado de uma função de utilidade. Tomamos como dado que o consumidor possui preferências; o que os axiomas fazem é impor estrutura sobre essas preferências, de modo a torná-las matematicamente tratáveis. A função de utilidade, como veremos na próxima seção, é uma consequência dos axiomas impostos sobre $\succsim$, não uma hipótese adicional.

A partir de $\succsim$, definimos duas relações derivadas que utilizaremos extensivamente:

Preferência estrita: $\mathbf{x} \succ \mathbf{y}$ se e somente se $\mathbf{x} \succsim \mathbf{y}$ e não $\mathbf{y} \succsim \mathbf{x}$. O consumidor considera $\mathbf{x}$ estritamente melhor que $\mathbf{y}$.
Indiferença: $\mathbf{x} \sim \mathbf{y}$ se e somente se $\mathbf{x} \succsim \mathbf{y}$ e $\mathbf{y} \succsim \mathbf{x}$. O consumidor é igualmente satisfeito com ambas as cestas.

Para que as preferências do consumidor sejam "bem comportadas" e passíveis de análise formal, exigimos um conjunto de axiomas. Cada um deles captura uma exigência de coerência que, embora possa parecer óbvia isoladamente, desempenha um papel específico e insubstituível na construção do edifício teórico. Abandonar qualquer um deles — como ilustra o caso das preferências lexicográficas — pode comprometer resultados fundamentais, como a própria existência de uma função de utilidade.

Axioma 1 — Completude

Para quaisquer $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in X$, vale $\mathbf{x} \succsim \mathbf{y}$ ou $\mathbf{y} \succsim \mathbf{x}$ (ou ambos). Em outras palavras, o consumidor é sempre capaz de comparar duas cestas quaisquer.

Axioma 2 — Transitividade

Para quaisquer $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in X$, se $\mathbf{x} \succsim \mathbf{y}$ e $\mathbf{y} \succsim \mathbf{z}$, então $\mathbf{x} \succsim \mathbf{z}$. A transitividade garante consistência interna nas escolhas.

Axioma 3 — Continuidade

Para todo $\mathbf{y} \in X$, os conjuntos $\{\mathbf{x} \in X : \mathbf{x} \succsim \mathbf{y}\}$ (conjunto de pelo menos tão bom quanto) e $\{\mathbf{x} \in X : \mathbf{y} \succsim \mathbf{x}\}$ (conjunto de no máximo tão bom quanto) são fechados. A continuidade exclui "saltos" nas preferências — pequenas mudanças na cesta não causam inversões bruscas no ordenamento.

Axioma 4 — Monotonicidade (não saciedade local)

Se $\mathbf{x} \geq \mathbf{y}$ (componente a componente) e $\mathbf{x} \neq \mathbf{y}$, então $\mathbf{x} \succ \mathbf{y}$. "Mais é melhor" — o consumidor sempre prefere ter mais de pelo menos um bem, tudo o mais constante.

Uma nota de precaução que desenvolveremos na próxima seção: a função de utilidade que construiremos será ordinal — os números que ela atribui importam apenas pela ordem, não pela magnitude. Dizer que $u(A) = 10$ e $u(B) = 5$ significa que A é preferido a B, não que A é "duas vezes melhor".

Observação sobre preferências lexicográficas

As preferências lexicográficas satisfazem completude, transitividade e monotonicidade, mas não satisfazem continuidade. Por isso, não podem ser representadas por uma função de utilidade contínua. Este é um caso clássico que ilustra a importância do axioma de continuidade.

Exemplo — Racionalidade nas escolhas de consumo no Brasil

Os axiomas de completude e transitividade podem parecer abstratos, mas refletem exigências mínimas de consistência nas escolhas cotidianas. A Pesquisa de Orçamentos Familiares (POF 2017-2018) do IBGE mostra que famílias brasileiras, mesmo as de baixa renda, alocam seus orçamentos de forma estável e internamente consistente: quando a renda aumenta, a participação relativa da alimentação cai de maneira suave e previsível (de 22% para famílias com renda até R$ 1.908 a 7,6% para famílias acima de R$ 23.850). Essa regularidade empírica é compatível com preferências que satisfazem os axiomas acima — especialmente transitividade e monotonicidade — e justifica o uso do arcabouço axiomático como ponto de partida para modelar o consumidor.

Intuição Econômica

Em uma frase: Os axiomas de preferência são apenas regras mínimas de coerência — exigem que o consumidor saiba comparar opções e não se contradiga.

Pense assim: Quando você vai à feira e decide que prefere banana a maçã, e maçã a pera, seria estranho voltar e dizer que prefere pera a banana. Completude é conseguir comparar qualquer par de frutas; transitividade é não entrar em contradição. A monotonicidade diz que, entre dois sacos de frutas, você prefere o maior — desde que goste de todas.

Por que isso importa: Sem essas regras mínimas, não seria possível prever o comportamento do consumidor nem formular políticas públicas baseadas em escolhas racionais.

Conexão com a teoria da preferência revelada

Os axiomas sobre $\succsim$ são postulados sobre preferências internas do consumidor — algo que, em princípio, não podemos observar diretamente. Existe, porém, uma contrapartida observacional: o Axioma Generalizado da Preferência Revelada (GARP), que traduz completude e transitividade em condições testáveis sobre escolhas de consumo observadas. Se as compras de um consumidor satisfazem o GARP, seus dados são consistentes com a maximização de alguma função de utilidade bem comportada. Na seção "Pesquisa em Ação" ao final deste capítulo, o artigo de Choi et al. (2014) testa exatamente essa hipótese em uma amostra representativa — com resultados surpreendentes sobre a relação entre consistência das escolhas e acumulação de riqueza.

Antes de prosseguir para a função de utilidade, vale uma pausa para quem quer saber: esses axiomas funcionam na prática? O Box a seguir examina a evidência experimental — e a resposta é surpreendente.

Box Mundo 3.1 — Violações de transitividade: os experimentos de Tversky e replicações internacionais

Contexto: O axioma da transitividade — se $A \succsim B$ e $B \succsim C$, então $A \succsim C$ — é um dos pilares da teoria da escolha racional. Sem ele, como discutido na Seção 3.1, não é possível construir uma função de utilidade que represente as preferências do consumidor. Porém, desde os anos 1960, psicólogos e economistas comportamentais têm documentado violações sistemáticas desse axioma em contextos experimentais. O trabalho mais influente é o de Amos Tversky (1969), que demonstrou que indivíduos frequentemente exibem preferências intransitivas quando as alternativas diferem em múltiplas dimensões e as diferenças em alguma dimensão são "imperceptíveis".

Dados: Tversky (1969) apresentou a participantes do experimento escolhas entre pares de apostas que variavam em probabilidade de ganho e valor do prêmio. Quando a diferença de probabilidades entre duas apostas era pequena (por exemplo, 7/24 vs. 8/24), os participantes tendiam a escolher a aposta com prêmio maior — mas quando confrontados com comparações entre extremos da cadeia, a probabilidade dominava, gerando ciclos de intransitividade. A taxa de intransitividade observada chegou a 17% das tríades de escolha. Estudos subsequentes replicaram o fenômeno em diversos contextos e culturas: Regenwetter et al. (2011) conduziram meta-análises com dados de laboratórios nos EUA, Europa e Ásia e encontraram que, embora a frequência de intransitividade varie entre populações (de 5% a 25% das tríades), o padrão é robusto e não desaparece com incentivos monetários reais. Na Alemanha, Birnbaum e Schmidt (2015) replicaram o resultado com mais de 400 participantes e diferentes tipos de loterias.

Análise: Essas violações não invalidam a teoria da escolha racional, mas delimitam seu domínio de aplicação — uma questão central para a verificação de modelos (Capítulo 1). A resposta da teoria econômica tem sido dupla. Primeiro, modelos de utilidade aleatória (random utility), como o de McFadden (1974, Nobel 2000), incorporam um componente estocástico que pode gerar intransitividade aparente mesmo quando as preferências subjacentes são transitivas — as violações refletem "erros" de percepção, não preferências genuinamente cíclicas. Segundo, a economia comportamental desenvolveu modelos alternativos, como a regret theory de Loomes e Sugden (1982), que relaxam a transitividade mantendo outras propriedades. Do ponto de vista prático, a evidência sugere que a transitividade é uma aproximação excelente para decisões familiares e repetidas, mas pode falhar em escolhas complexas e não habituais — exatamente a distinção entre modelos descritivos e normativos que permeia todo este livro.

Fonte: Tversky, A. (1969). Intransitivity of preferences. Psychological Review, 76(1), 31–48. Regenwetter, M.; Dana, J.; Davis-Stober, C. P. (2011). Transitivity of preferences. Psychological Review, 118(1), 42–56. Birnbaum, M. H.; Schmidt, U. (2015). Testing transitivity in choice under risk. Theory and Decision, 79(4), 631–660.

Com essa ressalva empírica em mente — os axiomas são uma excelente aproximação para decisões cotidianas, mas podem falhar em escolhas complexas —, prossigamos para a recompensa teórica: a função de utilidade.

3.2 Relações de Preferência e Função de Utilidade¶

Ótimo: o consumidor é coerente, prefere mais a menos e não dá saltos. Mas como usar essas preferências para resolver um problema de otimização? Comparar cestas duas a duas, sem uma escala numérica, é como tentar navegar sem mapa — dá para fazer, mas é dolorosamente lento. O que precisamos é de uma função que atribua um número a cada cesta, de modo que cestas melhores recebam números maiores. Se tivermos isso, todo o arsenal do Capítulo 2 — derivadas, Lagrange, condições de ótimo — entra em campo.

A pergunta, portanto, é: podemos traduzir a relação de preferência $\succsim$ em uma função de utilidade $u: X \to \mathbb{R}$? A resposta é sim — e é exatamente para isso que precisávamos dos axiomas. A passagem de "eu prefiro A a B" para "$u(A) > u(B)$" é o passe de mágica que transforma a microeconomia de uma disciplina verbal em uma ciência analítica.

A definição formal de representação é a seguinte. Uma função de utilidade $u: X \to \mathbb{R}$ representa a relação de preferência $\succsim$ se, para todo $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in X$:

\[ \mathbf{x} \succsim \mathbf{y} \iff u(\mathbf{x}) \geq u(\mathbf{y}). \label{eq:3.2.1} \tag{3.2.1} \]

A condição expressa na equação $\eqref{eq:3.2.1}$ exige apenas que a função preserve o ordenamento das preferências — ela não atribui significado aos valores numéricos em si, apenas à sua ordenação relativa. A existência de tal função, contudo, não é trivial: não é para qualquer relação de preferência que conseguimos encontrar uma representação numérica. O teorema a seguir fornece condições suficientes e mostra que os axiomas da Seção 3.1 são exatamente o que precisamos para garantir essa representação.

Teorema 3.1 — Existência da Função de Utilidade (Debreu, 1954)

Se a relação de preferência $\succsim$ sobre $X \subseteq \mathbb{R}^n_+$ é completa, transitiva, contínua e monótona, então existe uma função de utilidade contínua $u: X \to \mathbb{R}$ que representa $\succsim$.

🏅 Prêmio Nobel — Gerard Debreu (1983)

Gerard Debreu (1921–2004) foi um economista e matemático franco-americano, formado pela École Normale Supérieure de Paris. Atuou na Cowles Commission e na Universidade da Califórnia, Berkeley.

Por que ganhou o Nobel: Premiado por sua contribuição à teoria do equilíbrio geral e por ter incorporado novos métodos analíticos à teoria econômica. Em Theory of Value (1959), Debreu forneceu uma axiomatização rigorosa da teoria do consumidor e demonstrou a existência de equilíbrio geral competitivo sob condições precisas. O Teorema 3.1 deste capítulo é uma de suas contribuições mais fundamentais.

Conexão com este capítulo: O teorema de existência da função de utilidade garante que os axiomas da Seção 3.1 — completude, transitividade, continuidade e monotonicidade — são suficientes para construir toda a maquinaria analítica que se segue: curvas de indiferença, TMS e otimização do consumidor.

A demonstração completa pode ser encontrada em Mas-Colell, Whinston e Green (1995, Proposição 3.C.1). A ideia central é elegante: para cada cesta $\mathbf{x}$, encontramos o escalar $t$ tal que $\mathbf{x} \sim t \cdot \mathbf{1}$, onde $\mathbf{1} = (1, 1, \ldots, 1)$ é a cesta com uma unidade de cada bem. Esse escalar $t$ é o "nível de utilidade" atribuído a $\mathbf{x}$. A monotonicidade garante que tal $t$ é único — cestas melhores correspondem a valores maiores de $t$ — e a continuidade garante que a função resultante é contínua, sem saltos que gerariam cestas impossíveis de classificar. Cada axioma desempenha, portanto, um papel preciso na construção.

Utilidade é ordinal, não cardinal

A função de utilidade atribui números a cestas apenas para preservar o ordenamento. Os valores absolutos não têm significado econômico intrínseco. Se $u(\mathbf{x}) = 10$ e $u(\mathbf{y}) = 5$, sabemos apenas que $\mathbf{x} \succ \mathbf{y}$, não que $\mathbf{x}$ é "duas vezes melhor" que $\mathbf{y}$.

Intuição Econômica

Em uma frase: Os números da utilidade funcionam como a ordem de chegada numa corrida — só importa quem chegou antes, não por quantos segundos.

Pense assim: Imagine que você dá nota 10 para um prato de feijoada e nota 5 para uma salada. Isso não significa que a feijoada é "duas vezes mais gostosa" — apenas que você a prefere. Se um amigo desse nota 100 e 50, as preferências seriam as mesmas. O ranking é o que importa, não o placar.

Por que isso importa: Essa propriedade ordinal nos liberta de medir "felicidade" em unidades absolutas — basta saber o que o consumidor prefere para analisar suas escolhas. No Capítulo 7, veremos que a introdução de incerteza exige uma utilidade cardinal (VNM): a curvatura da função passa a ter significado econômico, determinando a aversão ao risco do agente.

3.3 Curvas de Indiferença¶

Números são úteis, mas humanos pensam em imagens. A curva de indiferença é onde a microeconomia ganha olhos. A ideia: pegue todas as cestas que dão ao consumidor a mesma satisfação e ligue-as por uma curva. Pronto — você tem um "mapa topográfico" das preferências, onde cada curva é uma altitude de felicidade. Cestas em curvas mais altas são preferidas; cestas na mesma curva são equivalentes.

A forma das curvas conta uma história: se são quase retas, os bens são facilmente substituíveis (café e chá); se são em "L", devem ser consumidos juntos (pé esquerdo e pé direito de sapato). No Capítulo 4, quando sobrepormos essas curvas à reta orçamentária, o ponto ótimo do consumidor emergirá como o ponto de tangência — uma das imagens mais elegantes de toda a ciência econômica.

Curva de indiferença

A curva de indiferença associada ao nível de utilidade $\bar{u}$ é o conjunto $\{\mathbf{x} \in X : u(\mathbf{x}) = \bar{u}\}$. Trata-se de uma curva de nível da função de utilidade.

Propriedades das curvas de indiferença

Sob os axiomas da Seção 3.1:

Cobrem todo o espaço de consumo: pela completude, toda cesta pertence a alguma curva de indiferença.
Não se cruzam: se duas curvas se cruzassem em um ponto, a transitividade seria violada.
Possuem inclinação negativa: pela monotonicidade, manter a utilidade constante exige compensar um aumento em $x_1$ com uma redução em $x_2$.
Cestas em curvas mais altas (a nordeste) são preferidas: consequência direta da monotonicidade.

O mapa de indiferença é a família de todas as curvas de indiferença. Ele oferece uma representação visual completa das preferências do consumidor no espaço bidimensional.

Figura 3.1 — Mapa de curvas de indiferença. Arraste o ponto sobre a curva para ver a TMS. Use os sliders para alterar os parâmetros e o menu para trocar o tipo de preferência (Cobb-Douglas, substitutos perfeitos, complementos perfeitos, CES, quase-linear).

Convexidade estrita

Se as preferências forem estritamente convexas — isto é, se $\mathbf{x} \sim \mathbf{y}$ e $\mathbf{x} \neq \mathbf{y}$ implicarem $t\mathbf{x} + (1-t)\mathbf{y} \succ \mathbf{x}$ para todo $t \in (0,1)$ — então as curvas de indiferença são estritamente convexas em relação à origem. Isso reflete a ideia de que consumidores preferem variedade: uma cesta "mista" é preferida a cestas extremas. A seção sobre a TMS (a seguir) mostrará que essa propriedade equivale a uma TMS decrescente.

Convexidade das preferências ≠ concavidade da função de utilidade

Um erro frequente é confundir preferências convexas com função de utilidade côncava. São conceitos relacionados, mas distintos:

Preferências convexas significam que os conjuntos superiores $\{\mathbf{x} : u(\mathbf{x}) \geq \bar{u}\}$ são convexos — geometricamente, as curvas de indiferença são "abauladas" em direção à origem.
Função côncava é uma condição sobre a própria função $u$, mais forte que a convexidade das preferências.

Toda função de utilidade côncava gera preferências convexas, mas a recíproca é falsa: como a utilidade é ordinal, podemos sempre encontrar uma transformação monotônica que torne a função convexa (não côncava) sem alterar as preferências. O Exercício 3.5, com $u = x_1^2 + x_2^2$, ilustra o caso oposto: uma função convexa que gera preferências côncavas (curvas de indiferença circulares, côncavas em relação à origem).

3.4 Taxa Marginal de Substituição (TMS)¶

As curvas de indiferença mostram o quê o consumidor aceita; a TMS diz a que preço. Imagine que você tem 10 fatias de pizza e 2 cervejas. Alguém te oferece trocar 1 pizza por 1 cerveja. Você aceita? Provavelmente sim — pizza está sobrando, cerveja está escassa. Mas e se já tiver 10 cervejas e 2 pizzas? Agora a troca é desvantajosa. A taxa marginal de substituição (TMS) captura exatamente essa lógica: quantas unidades do bem 2 você topa ceder por uma unidade a mais do bem 1, sem perder satisfação.

A TMS é, talvez, o conceito mais operacional de toda a teoria do consumidor. No próximo capítulo, veremos que o consumidor está no ótimo quando sua TMS (o quanto ele quer trocar) se iguala à razão de preços (o quanto o mercado cobra para trocar). Se o valor subjetivo e o preço de mercado divergem, há um negócio a ser feito — e o consumidor faz.

Taxa marginal de substituição

A taxa marginal de substituição do bem 1 pelo bem 2 é definida como o valor absoluto da inclinação da curva de indiferença no ponto $(x_1, x_2)$:

\[ \text{TMS}_{12} = -\frac{dx_2}{dx_1}\bigg|_{u = \bar{u}} \label{eq:3.4.2} \tag{3.4.2} \]

A TMS mede a quantidade do bem 2 que o consumidor está disposto a abrir mão para obter uma unidade adicional do bem 1, mantendo o nível de utilidade constante.

🏅 Prêmio Nobel — John R. Hicks (1972)

John Richard Hicks (1904–1989) foi um economista britânico, formado na Universidade de Oxford. Foi professor em Manchester, Oxford e na London School of Economics. Dividiu o Nobel com Kenneth Arrow.

Por que ganhou o Nobel: Premiado por suas contribuições pioneiras à teoria do equilíbrio geral e à teoria do bem-estar. Em Value and Capital (1939), Hicks axiomatizou a teoria do consumidor, introduzindo a taxa marginal de substituição como ferramenta central, e desenvolveu o conceito de demanda compensada (hicksiana), que separa efeitos renda e substituição.

Conexão com este capítulo: A taxa marginal de substituição (TMS) formalizada por Hicks é o conceito central deste capítulo. A condição de tangência entre a curva de indiferença e a restrição orçamentária — que exige igualdade entre TMS e razão de preços — é a base da teoria da escolha do consumidor desenvolvida aqui.

Interpretação econômica. A TMS é a taxa de troca subjetiva do consumidor — o "preço pessoal" que ele atribui ao bem 1 em termos do bem 2. Se $\text{TMS}_{12} = 3$, o consumidor está disposto a abrir mão de até 3 unidades do bem 2 para obter 1 unidade adicional do bem 1, permanecendo no mesmo nível de satisfação. Note que essa taxa é puramente subjetiva e pode diferir radicalmente da razão de preços do mercado — é precisamente essa diferença que cria incentivos para o consumidor realocar seu consumo.

TMS decrescente. Sob preferências estritamente convexas, a TMS é decrescente ao longo da curva de indiferença: à medida que o consumidor adquire mais do bem 1, cada unidade adicional torna-se relativamente menos valiosa em relação ao bem 2, que se torna cada vez mais escasso na cesta. O consumidor, portanto, está disposto a sacrificar cada vez menos do bem 2 para obter mais uma unidade do bem 1. Esta propriedade — matematicamente equivalente à convexidade estrita das curvas de indiferença — reflete a ideia intuitiva de que os consumidores valorizam a diversidade: cestas equilibradas são preferidas a cestas extremas.

Intuição Econômica

Em uma frase: A TMS mede "quanto do bem 2 você toparia trocar por mais uma unidade do bem 1" — é o seu preço pessoal de troca.

Pense assim: Imagine que você tem muito arroz e pouco feijão em casa. Você toparia trocar bastante arroz por um pouco de feijão. Mas à medida que ganha feijão e perde arroz, cada porção adicional de feijão vale menos para você, e cada porção de arroz que abre mão dói mais. Essa "taxa de troca pessoal" que vai caindo é a TMS decrescente.

Por que isso importa: No capítulo seguinte veremos que o consumidor otimiza quando sua TMS iguala a razão de preços do mercado — é o ponto onde o "preço pessoal" coincide com o "preço de mercado".

Exemplo — TMS e escolhas alimentares no Brasil

Considere um consumidor brasileiro escolhendo entre alimentação dentro de casa ($x_1$) e alimentação fora de casa ($x_2$). Segundo a POF 2017-2018 do IBGE, a despesa média per capita com alimentação no domicílio era de aproximadamente R$ 136 mensais, contra R$ 73 com alimentação fora. Uma família com muito gasto em alimentação domiciliar (cesta "extrema") teria uma TMS alta: estaria disposta a abrir mão de várias refeições caseiras por uma refeição fora. À medida que aumenta a alimentação fora de casa, a TMS diminui — o consumidor valoriza cada vez menos uma refeição adicional fora. Essa TMS decrescente é a manifestação empírica da convexidade estrita das preferências.

3.5 Utilidade Marginal e TMS¶

Na seção anterior, a TMS era uma inclinação que "víamos" no gráfico. Agora queremos calculá-la — sem desenhar nada. O truque: a TMS é simplesmente a razão entre as utilidades marginais dos dois bens. A utilidade marginal mede o "quanto a mais de satisfação" que uma unidade extra de um bem proporciona (nosso velho amigo ceteris paribus). Se a próxima fatia de pizza te dá prazer 3 e a próxima cerveja te dá prazer 6, você toparia trocar até 2 pizzas por 1 cerveja — e a TMS é exatamente 2. Vejamos isso com rigor.

Formalmente, a utilidade marginal do bem $i$ é a derivada parcial da função de utilidade em relação à quantidade desse bem:

\[ \text{UMg}_i = \frac{\partial u}{\partial x_i}. \label{eq:3.5.3} \tag{3.5.3} \]

Se a utilidade marginal é positiva — o que é garantido pela monotonicidade —, o consumidor sempre se beneficia de uma unidade adicional do bem $i$, mantendo tudo o mais constante. Contudo, é importante lembrar que, como a utilidade é ordinal (Seção 3.2), o valor numérico da utilidade marginal em si não possui significado econômico absoluto — ele depende da escala escolhida para representar as preferências. O que tem significado é a razão entre utilidades marginais, como veremos imediatamente.

Cuidado: utilidade marginal não tem significado isolado

A utilidade marginal $\text{UMg}_i$ muda de valor quando aplicamos uma transformação monotônica à função de utilidade (Seção 3.7). Se $\hat{u} = \ln(u)$, a utilidade marginal passa de $\partial u / \partial x_i$ para $\frac{1}{u} \cdot \partial u / \partial x_i$ — um valor completamente diferente. Por isso, afirmações como "a utilidade marginal do bem 1 é 5" não possuem conteúdo econômico: o número 5 depende arbitrariamente da escala escolhida.

O que tem significado econômico é a razão $\text{UMg}_1 / \text{UMg}_2$, que é a TMS — invariante sob transformações monotônicas. Não confunda, ainda, "utilidade marginal decrescente" (propriedade cardinal, sem significado ordinal) com "TMS decrescente" (propriedade ordinal, com significado econômico preciso: preferências convexas).

A relação fundamental entre a utilidade marginal, definida pela equação $\eqref{eq:3.5.3}$, e a TMS, definida pela equação $\eqref{eq:3.4.2}$, revela que a inclinação da curva de indiferença pode ser inteiramente expressa em termos de derivadas da função de utilidade. Essa ponte entre geometria e cálculo — entre a inclinação visual da curva e as derivadas parciais da função — é dada pela proposição a seguir.

Proposição 3.2 — TMS como razão de utilidades marginais

Se $u(x_1, x_2)$ é diferenciável e $\text{UMg}_2 > 0$, então:

\[ \text{TMS}_{12} = \frac{\text{UMg}_1}{\text{UMg}_2} = \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2} \label{eq:3.5.4} \tag{3.5.4} \]

Demonstração

Considere o consumidor sobre uma curva de indiferença, de modo que $u(x_1, x_2) = \bar{u}$. Tomando o diferencial total da função de utilidade ao longo dessa curva:

\[ du = \frac{\partial u}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial u}{\partial x_2} dx_2 = 0, \]

pois o nível de utilidade é constante ($du = 0$) ao longo da curva de indiferença. Reorganizando:

\[ \frac{\partial u}{\partial x_2} dx_2 = -\frac{\partial u}{\partial x_1} dx_1, \]

\[ \frac{dx_2}{dx_1} = -\frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2}. \]

Como a TMS é definida como o valor absoluto (com sinal positivo) da inclinação da curva de indiferença:

\[ \text{TMS}_{12} = -\frac{dx_2}{dx_1}\bigg|_{u = \bar{u}} = \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2} = \frac{\text{UMg}_1}{\text{UMg}_2}. \qquad \blacksquare \]

Figura 3.2 — Taxa Marginal de Substituição (TMS). Arraste o ponto P ao longo da curva de indiferença para ver a reta tangente e o cálculo da $\text{TMS} = \text{UMg}_1/\text{UMg}_2$ em tempo real. Selecione entre Cobb-Douglas, linear, Leontief, CES e quase-linear.

Exercício Resolvido 3.1

Enunciado: Um consumidor tem preferências representadas por $u(x_1, x_2) = x_1^{2/5} \, x_2^{3/5}$. Calcule a TMS no ponto $(x_1, x_2) = (10, 15)$ e interprete o resultado.

Dados: $a = 2/5$, $b = 3/5$, $x_1 = 10$, $x_2 = 15$.

Resolução:

Passo 1 — Cálculo das utilidades marginais

\[ \text{UMg}_1 = \frac{\partial u}{\partial x_1} = \frac{2}{5} \, x_1^{-3/5} \, x_2^{3/5} \]

\[ \text{UMg}_2 = \frac{\partial u}{\partial x_2} = \frac{3}{5} \, x_1^{2/5} \, x_2^{-2/5} \]

Passo 2 — Cálculo da TMS

\[ \text{TMS}_{12} = \frac{\text{UMg}_1}{\text{UMg}_2} = \frac{\frac{2}{5} \, x_1^{-3/5} \, x_2^{3/5}}{\frac{3}{5} \, x_1^{2/5} \, x_2^{-2/5}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{x_2}{x_1} \]

Note que, para qualquer Cobb-Douglas $u = x_1^a x_2^b$, a TMS assume a forma geral $\text{TMS}_{12} = \frac{a}{b} \cdot \frac{x_2}{x_1}$.

Passo 3 — Avaliação no ponto dado

\[ \text{TMS}_{12}(10, 15) = \frac{2}{3} \cdot \frac{15}{10} = \frac{2}{3} \cdot 1{,}5 = 1 \]

Resultado: $\text{TMS}_{12} = 1$ no ponto $(10, 15)$.

Interpretação econômica: No ponto $(10, 15)$, o consumidor está disposto a trocar exatamente 1 unidade do bem 2 por 1 unidade adicional do bem 1, mantendo-se indiferente. Se pensarmos no bem 1 como transporte e no bem 2 como alimentação fora de casa no orçamento de uma família brasileira, a TMS igual a 1 significa que o consumidor valoriza igualmente uma unidade adicional de cada bem naquela composição de cesta. Se o preço relativo diferir de 1, haverá incentivo para realocar o consumo — tema do Capítulo 4.

3.6 Funções de Utilidade para Preferências Específicas¶

Até aqui, a função de utilidade era abstrata — uma $u$ genérica sem rosto. Agora é hora de conhecer as protagonistas pelo nome. Cada família de funções de utilidade captura um tipo diferente de consumidor: o que substitui facilmente (Cobb-Douglas), o que não substitui de jeito nenhum (Leontief), o que trata os bens como idênticos (substitutos perfeitos), e o camaleão que se adapta a qualquer grau de substituição (CES). Conhecer essas "personagens" é essencial porque elas reaparecerão em todo capítulo daqui para frente — da derivação de demandas à análise de comércio internacional.

3.6.1 Cobb-Douglas¶

A função Cobb-Douglas é, sem dúvida, a forma funcional mais utilizada em microeconomia — tanto pela sua notável tratabilidade analítica quanto por suas propriedades econômicas intuitivas e empiricamente relevantes. Proposta originalmente por Charles Cobb e Paul Douglas (1928) no contexto da teoria da produção, ela rapidamente migrou para a teoria do consumidor, onde se tornou o "cavalo de batalha" de inúmeros modelos teóricos e aplicados. A função é definida como:

\[ u(x_1, x_2) = x_1^a \, x_2^b, \quad a, b > 0. \label{eq:3.6.5} \tag{3.6.5} \]

Geometricamente, as curvas de indiferença da Cobb-Douglas são hipérboles convexas, estritamente decrescentes e assintóticas aos eixos coordenados. A assíntota implica que o consumidor nunca deseja quantidades nulas de qualquer bem: por maior que seja a quantidade de $x_1$, uma pequena quantidade positiva de $x_2$ sempre é necessária para manter a utilidade positiva. A TMS é:

\[ \text{TMS}_{12} = \frac{a \, x_2}{b \, x_1}. \label{eq:3.6.6} \tag{3.6.6} \]

Observe que a TMS depende da razão $x_2/x_1$: quando o consumidor tem muito do bem 2 e pouco do bem 1, a TMS é alta — ele valoriza muito uma unidade adicional do bem 1. À medida que adquire mais do bem 1, a TMS cai, refletindo a TMS decrescente discutida na Seção 3.4.

A função Cobb-Douglas é extremamente conveniente por gerar funções de demanda com forma fechada, o que simplifica consideravelmente os cálculos. A participação de cada bem na despesa total é constante: $\frac{a}{a+b}$ para o bem 1 e $\frac{b}{a+b}$ para o bem 2 — uma propriedade notável que independe tanto dos preços quanto da renda. A elasticidade de substituição é $\sigma = 1$, indicando que, quando o preço relativo de um bem sobe 1%, a razão entre as quantidades consumidas se ajusta exatamente 1% na direção oposta.

3.6.2 Substitutos Perfeitos¶

No extremo oposto da substituibilidade, considere bens que o consumidor troca livremente entre si a uma taxa fixa — como, para muitos consumidores, manteiga e margarina, ou gasolina comum e aditivada. Para esse consumidor, o que importa é apenas a quantidade total de "gordura para cozinhar" ou de "combustível", não a composição específica da cesta. Nesse caso, a função de utilidade assume a forma linear:

\[ u(x_1, x_2) = a x_1 + b x_2, \quad a, b > 0. \label{eq:3.6.7} \tag{3.6.7} \]

As curvas de indiferença são linhas retas com inclinação $-a/b$, paralelas entre si no espaço $(x_1, x_2)$. Curvas de indiferença mais altas (maiores níveis de utilidade) estão mais afastadas da origem. A TMS é constante em todos os pontos:

\[ \text{TMS}_{12} = \frac{a}{b}. \label{eq:3.6.8} \tag{3.6.8} \]

O consumidor troca os bens a uma taxa fixa, independente da composição da cesta — não há TMS decrescente, pois a disposição a substituir nunca se altera. A elasticidade de substituição é $\sigma = \infty$, refletindo a perfeita substituibilidade.

Substitutos perfeitos geram soluções de canto

Diferentemente das demais formas funcionais, a solução ótima com substitutos perfeitos tipicamente não é interior: o consumidor gasta toda a renda no bem que oferece maior "valor por unidade monetária" — isto é, maior razão $a_i/p_i$. Formalmente:

Se $a/p_1 > b/p_2$: $x_1^* = m/p_1$, $x_2^* = 0$ — especialização total no bem 1.
Se $a/p_1 < b/p_2$: $x_1^* = 0$, $x_2^* = m/p_2$ — especialização total no bem 2.
Se $a/p_1 = b/p_2$: qualquer cesta na reta orçamentária é ótima (caso-faca).

Na prática, isso significa que a condição de tangência $\text{TMS} = p_1/p_2$ não se aplica: como a TMS é constante e a reta orçamentária também tem inclinação constante, as duas nunca se "encontram" em um ponto interior (a menos do caso-faca). Essa é uma exceção importante à regra geral de otimização do Capítulo 4.

3.6.3 Complementos Perfeitos¶

Se os substitutos perfeitos representam a máxima disposição a trocar entre bens, os complementos perfeitos ocupam o extremo oposto do espectro de substituibilidade: os bens só têm valor quando consumidos juntos, em proporções fixas. Pense em um pé esquerdo e um pé direito de sapato — um sem o outro é inútil. Ter dez pés esquerdos e apenas um pé direito não é melhor do que ter um par, pois os pés extras não podem ser aproveitados. A função de utilidade que captura essa rigidez é:

\[ u(x_1, x_2) = \min\{a x_1, \, b x_2\}, \quad a, b > 0. \label{eq:3.6.9} \tag{3.6.9} \]

As curvas de indiferença têm formato de L (ângulo reto), com vértice na reta $a x_1 = b x_2$, que define a proporção ótima de consumo. A TMS é indefinida no vértice (onde a curva faz uma "quina"), zero nos segmentos horizontais (o consumidor não valoriza mais do bem 1 sem mais do bem 2) e infinita nos segmentos verticais (o consumidor não valoriza mais do bem 2 sem mais do bem 1). A elasticidade de substituição é $\sigma = 0$, indicando que nenhum ajuste de preços relativos pode induzir o consumidor a alterar a proporção entre os bens. Exemplos clássicos incluem sapato esquerdo e sapato direito, CPU e monitor, e, em contextos mais modernos, cartucho de impressora e a impressora correspondente.

3.6.4 CES (Elasticidade de Substituição Constante)¶

Os três casos anteriores — Cobb-Douglas $\eqref{eq:3.6.5}$, substitutos perfeitos $\eqref{eq:3.6.7}$ e complementos perfeitos $\eqref{eq:3.6.9}$ — podem parecer categorias isoladas e desconexas, mas na verdade são membros de uma mesma família: a função de utilidade com Elasticidade de Substituição Constante (CES, do inglês Constant Elasticity of Substitution). Introduzida por Arrow, Chenery, Minhas e Solow (1961) no contexto da teoria da produção, a CES permite capturar qualquer grau de substituibilidade entre os bens por meio de um único parâmetro $\rho$, que governa a curvatura das curvas de indiferença. Ao variar $\rho$ continuamente, transitamos suavemente dos complementos perfeitos aos substitutos perfeitos, passando pela Cobb-Douglas como caso intermediário — o que torna a CES uma ferramenta extremamente versátil tanto na teoria quanto na estimação empírica.

\[ u(x_1, x_2) = \left(x_1^{\rho} + x_2^{\rho}\right)^{1/\rho}, \quad \rho \leq 1, \; \rho \neq 0. \label{eq:3.6.10} \tag{3.6.10} \]

A elasticidade de substituição — que mede a sensibilidade da razão $x_1/x_2$ a variações no preço relativo — é determinada diretamente pelo parâmetro $\rho$:

\[ \sigma = \frac{1}{1 - \rho}. \label{eq:3.6.11} \tag{3.6.11} \]

Essa relação é a chave para entender a versatilidade da CES: ao variar um único parâmetro, percorremos todo o espectro de substituibilidade. A função CES engloba como casos especiais as três formas funcionais anteriores:

$\rho \to 0$: Cobb-Douglas ($\sigma = 1$). A passagem ao limite requer a regra de L'Hôpital aplicada ao logaritmo da função.
$\rho = 1$: Substitutos perfeitos ($\sigma = \infty$). A utilidade se reduz a uma combinação linear dos bens.
$\rho \to -\infty$: Complementos perfeitos ($\sigma = 0$). A utilidade converge para o mínimo das quantidades ponderadas.

Para valores intermediários de $\rho$, a CES produz curvas de indiferença com curvatura intermediária — nem tão "redondas" quanto as da Cobb-Douglas, nem tão "angulosas" quanto as dos complementos perfeitos. Isso a torna ideal para estimação empírica, pois os dados podem "escolher" o grau de substituibilidade que melhor se ajusta ao comportamento observado.

A TMS para a CES assume uma forma compacta e elegante:

\[ \text{TMS}_{12} = \left(\frac{x_1}{x_2}\right)^{\rho - 1}. \label{eq:3.6.12} \tag{3.6.12} \]

Note que, quando $\rho < 1$ (o caso economicamente relevante), o expoente $\rho - 1$ é negativo, de modo que a TMS é decrescente em $x_1/x_2$ — confirmando a convexidade das curvas de indiferença.

Figura 3.3 — CES Contínua: de Leontief a Substitutos Perfeitos. Arraste o slider de $\rho$ para observar a transformação contínua das curvas de indiferença: de ângulos retos ($\rho \to -\infty$, complementos perfeitos) a hipérboles suaves ($\rho = 0$, Cobb-Douglas) a retas ($\rho \to 1$, substitutos perfeitos). A elasticidade de substituição $\sigma = 1/(1-\rho)$ é exibida em tempo real.

Exemplo numérico: CES com diferentes valores de ρ

Considere o ponto $(x_1, x_2) = (4, 8)$. A TMS da CES é $\text{TMS}_{12} = (x_1/x_2)^{\rho-1} = (4/8)^{\rho-1} = (0{,}5)^{\rho-1}$. Veja como ela varia com $\rho$:

$\rho$	$\sigma = \frac{1}{1-\rho}$	$\text{TMS}_{12}(4,8)$	Interpretação
$0{,}5$	$2$	$(0{,}5)^{-0,5} = 1{,}41$	Substituição fácil: troca 1,41 unidades de $x_2$ por 1 de $x_1$
$0$ (Cobb-Douglas)	$1$	$(0{,}5)^{-1} = 2$	Substituição moderada
$-1$	$0{,}5$	$(0{,}5)^{-2} = 4$	Substituição difícil: exige 4 unidades de $x_2$ por 1 de $x_1$
$-5$	$0{,}17$	$(0{,}5)^{-6} = 64$	Quase complementares: compensação altíssima

À medida que $\rho$ diminui (e $\sigma$ cai), a TMS cresce explosivamente para cestas desequilibradas — o consumidor resiste cada vez mais a trocar o bem escasso. Para $\rho \to -\infty$, a TMS diverge para infinito fora do vértice, recuperando os complementos perfeitos.

🇧🇷 Box Brasil 3.3 — Etanol versus gasolina: preferências CES reveladas nas bombas brasileiras

Contexto: O Brasil oferece um laboratório natural único para observar a elasticidade de substituição entre bens de consumo. Desde a introdução dos veículos flex-fuel em 2003, motoristas brasileiros escolhem, a cada abastecimento, entre etanol hidratado e gasolina comum — bens que são substitutos próximos, mas não perfeitos (o etanol rende aproximadamente 70% da quilometragem por litro em relação à gasolina). A regra prática difundida entre consumidores — "abasteça etanol se o preço for inferior a 70% do preço da gasolina" — é, na essência, uma aplicação intuitiva da condição de otimização com preferências CES.

Dados: Segundo a ANP (Agência Nacional do Petróleo), a participação do etanol no consumo total de combustíveis leves oscila fortemente com o preço relativo. Em São Paulo, onde o etanol é mais barato (média de 65–70% do preço da gasolina em 2023), a participação do etanol atingiu cerca de 45% do volume total. No Rio de Janeiro e nos estados do Sul, onde a razão de preços frequentemente supera 75%, a participação do etanol caiu para 15–20%. Estimativas econométricas de Santos (2013, Energy Economics) e Salvo e Huse (2013, Journal of Environmental Economics and Management) encontraram elasticidades de substituição entre etanol e gasolina na faixa de $\sigma \approx 3$ a $5$ para proprietários de veículos flex — valores que situam esses combustíveis na região intermediária do espectro CES, entre a Cobb-Douglas ($\sigma = 1$) e os substitutos perfeitos ($\sigma = \infty$).

Análise: O caso brasileiro do etanol ilustra com precisão como o parâmetro $\rho$ da função CES se manifesta em decisões reais. Se etanol e gasolina fossem substitutos perfeitos ($\sigma \to \infty$), observaríamos soluções de canto puras: 100% etanol ou 100% gasolina em cada estado, sem transição gradual. O fato de a participação variar suavemente com o preço relativo — em vez de saltar descontinuamente — revela que $\sigma$ é alto, mas finito: diferenças na autonomia, na disponibilidade de postos, na percepção de desempenho do motor e em hábitos de consumo impedem a substituição perfeita. A curva de indiferença entre etanol e gasolina é convexa, mas relativamente "achatada", refletindo alta substituibilidade com fricções.

Para refletir: Se o governo aumentar a tributação sobre a gasolina em 10%, que mudança percentual na razão etanol/gasolina consumida você esperaria observar com $\sigma = 4$? Compare com o que ocorreria se $\sigma = 1$ (Cobb-Douglas) ou $\sigma = \infty$ (substitutos perfeitos).

3.6.5 Quase-linear¶

As formas funcionais anteriores compartilham uma propriedade importante: são todas homotéticas (como veremos na Seção 3.6.6), o que significa que a proporção entre os bens consumidos não se altera quando a renda varia — o consumidor simplesmente "escala" sua cesta ótima. Na prática, porém, existem situações em que a demanda por um bem específico é essencialmente insensível à renda: por exemplo, o consumo de sal de cozinha dificilmente se altera quando uma família recebe um aumento salarial. Nesses casos, todo o acréscimo de renda é direcionado aos demais bens. A função de utilidade quase-linear captura exatamente essa assimetria:

\[ u(x_1, x_2) = v(x_1) + x_2, \quad v' > 0, \; v'' < 0. \label{eq:3.6.13} \tag{3.6.13} \]

A TMS depende apenas de $x_1$ — e não de $x_2$, o que é uma peculiaridade notável:

\[ \text{TMS}_{12} = v'(x_1). \label{eq:3.6.14} \tag{3.6.14} \]

Como $v'' < 0$, a TMS é decrescente em $x_1$: à medida que o consumidor obtém mais do bem 1, sua disposição a trocar o bem 2 por unidades adicionais do bem 1 diminui — preservando a convexidade das curvas de indiferença.

TMS independente de x₂: a assinatura da quase-linearidade

A propriedade mais distintiva da utilidade quase-linear é que a TMS depende exclusivamente de $x_1$ — a quantidade do bem 2 é irrelevante para a taxa de troca subjetiva do consumidor. Em todas as demais formas funcionais deste capítulo (Cobb-Douglas, CES, complementos perfeitos), a TMS depende da composição completa da cesta. Na quase-linear, o consumidor que possui 10 ou 1.000 unidades de $x_2$ atribui exatamente o mesmo valor marginal relativo ao bem 1, desde que $x_1$ seja o mesmo. É essa independência que elimina o efeito renda sobre $x_1$ e gera curvas de indiferença que são translações verticais.

As curvas de indiferença são translações verticais umas das outras: possuem a mesma forma, apenas deslocadas paralelamente ao eixo $x_2$. Essa propriedade geométrica tem uma implicação econômica direta e poderosa: não há efeito renda sobre o bem 1 (para soluções interiores), pois a demanda por $x_1$ depende apenas dos preços, não da renda. Todo acréscimo de renda é absorvido pelo bem 2, que funciona como um "numerário" — um bem residual que absorve as variações de poder aquisitivo. A utilidade quase-linear é particularmente útil em análises de equilíbrio parcial e em modelos de organização industrial, onde se deseja isolar o mercado de um bem específico sem que efeitos renda contaminem a análise.

Proposição — Propriedades da utilidade quase-linear

Seja $u(x_1, x_2) = v(x_1) + x_2$ com $v' > 0$ e $v'' < 0$. Então, para soluções interiores:

Efeito renda nulo sobre $x_1$: a demanda marshalliana por $x_1$ depende apenas de $p_1/p_2$, não da renda $I$.
Translação vertical: fixado $x_1$, a curva de indiferença de nível $\bar{u}$ é $x_2 = \bar{u} - v(x_1)$. Ao passar para o nível $\bar{u}' > \bar{u}$, a curva se desloca verticalmente em $\bar{u}' - \bar{u}$.
Medidas de bem-estar coincidem: variação compensatória, variação equivalente e variação do excedente do consumidor são iguais — $VC = VE = \Delta EC$ — porque a demanda hicksiana por $x_1$ independe do nível de utilidade (ver Cap. 5, §5.8.4).
Função dispêndio: $E(\mathbf{p}, \bar{u}) = c(p_1, p_2) + p_2 \bar{u}$, onde $c(\cdot)$ é uma função apenas dos preços. A função dispêndio é linear em $\bar{u}$.

Intuição Econômica

Em uma frase: Na utilidade quase-linear, o bem 2 funciona como "dinheiro" — todo aumento de renda vai para $x_2$, sem afetar a escolha de $x_1$.

Pense assim: Imagine que você decide quanto café tomar por dia baseado apenas no preço do café, e todo o resto do seu orçamento vai para "outros gastos" ($x_2$). Se você ganha um aumento de salário, continua tomando a mesma quantidade de café — a renda extra vai toda para os outros gastos. Essa é a essência da quase-linearidade.

Por que isso importa: Essa propriedade torna a utilidade quase-linear a preferida em modelos de organização industrial e análises de equilíbrio parcial: como $VC = VE = \Delta EC$, a medida de bem-estar é única e não ambígua.

Quase-linear vs. homotética. É importante distinguir claramente a utilidade quase-linear das preferências homotéticas, pois ambas são amplamente utilizadas mas possuem implicações opostas sobre o efeito renda. A utilidade quase-linear não é homotética (exceto no caso trivial em que $v$ é linear). Enquanto as preferências homotéticas geram curvas de indiferença que se expandem radialmente a partir da origem — mantendo constante a razão $x_1/x_2$ ao longo do caminho de expansão da renda —, as curvas da utilidade quase-linear se deslocam por translação vertical: a razão $x_1/x_2$ muda com a renda, pois todo o aumento vai para $x_2$, violando a condição das funções homotéticas (ver §3.6.6).

3.6.6 Funções homotéticas¶

Após examinar a quase-linearidade — onde todo o efeito renda recai sobre um único bem —, é natural perguntar: existe uma classe de preferências em que a composição relativa da cesta permanece inalterada quando a renda varia? Ou seja, preferências tais que ricos e pobres, ao enfrentarem os mesmos preços, escolham as mesmas proporções entre os bens, diferindo apenas na escala de consumo? A resposta são as preferências homotéticas, que ocupam um papel central tanto na teoria do consumidor quanto nos modelos de equilíbrio geral e macroeconômico. A homoteticidade é a propriedade que permite agregar consumidores heterogêneos em um "consumidor representativo" — uma simplificação poderosa, embora nem sempre realista, como discutiremos adiante.

Função homotética

Uma função de utilidade $u(x_1, x_2)$ é homotética se pode ser escrita como uma transformação monotônica crescente de uma função homogênea de grau 1:

\[ u(x_1, x_2) = g\!\big(h(x_1, x_2)\big), \quad g' > 0, \quad h(\lambda x_1, \lambda x_2) = \lambda \, h(x_1, x_2) \;\;\forall\, \lambda > 0. \]

Propriedade fundamental. Para preferências homotéticas, a TMS depende apenas da razão $x_1/x_2$, e não das quantidades absolutas:

\[ \text{TMS}_{12}(x_1, x_2) = \phi\!\left(\frac{x_1}{x_2}\right). \label{eq:3.6.15} \tag{3.6.15} \]

A implicação geométrica é elegante: ao longo de qualquer raio que parte da origem ($x_2 = k \cdot x_1$), a TMS é constante — todas as curvas de indiferença cruzam esse raio com a mesma inclinação. Isso significa que as curvas de indiferença são expansões radiais umas das outras: escalar uma curva de indiferença a partir da origem produz outra curva de indiferença. Visualmente, o mapa de indiferença possui uma simetria radial que contrasta com o deslocamento puramente vertical da utilidade quase-linear. Essa simetria é precisamente o que garante que o caminho de expansão da renda — o conjunto de cestas ótimas para diferentes níveis de renda, a preços fixos — seja uma reta que passa pela origem.

Proposição — Propriedades das preferências homotéticas

Se $u$ é homotética, então:

Caminho de expansão da renda linear: a reta que passa pela origem e pela cesta ótima contém todas as cestas ótimas para diferentes níveis de renda (preços fixos). A razão $x_1^*/x_2^*$ é constante em $I$.
Curvas de Engel lineares: $x_i^*(I) = \alpha_i(\mathbf{p}) \cdot I$, onde $\alpha_i$ depende apenas dos preços.
Elasticidade-renda unitária: $\varepsilon_{x_i, I} = 1$ para todo bem $i$. Todos os bens são normais e nem de luxo nem de necessidade.
Participação constante na despesa: $p_i x_i^* / I$ é constante para variações da renda.
Função dispêndio separável: $E(\mathbf{p}, \bar{u}) = b(\mathbf{p}) \cdot e(\bar{u})$, onde $b$ depende apenas dos preços e $e$ apenas da utilidade.

Exemplos. A maioria das funções de utilidade estudadas neste capítulo é homotética — o que não é coincidência, pois a homoteticidade simplifica enormemente a análise. Vale, portanto, classificar cada uma delas:

Cobb-Douglas $u = x_1^a x_2^b$: é homotética, pois é homogênea de grau $a+b$. A razão ótima é $x_1^*/x_2^* = (a p_2)/(b p_1)$, constante em $I$ — a participação de cada bem na despesa total não se altera com a renda.
CES $u = (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$: homotética (homogênea de grau 1). A razão ótima depende apenas de $p_1/p_2$ e $\rho$, nunca da renda.
Substitutos perfeitos e complementos perfeitos: ambos são homotéticos (homogêneos de grau 1). No caso dos substitutos, a solução de canto faz com que toda a renda vá para um único bem, mas a proporção não depende de $I$.
Quase-linear $u = v(x_1) + x_2$: não é homotética. A TMS depende de $x_1$ isoladamente, não da razão $x_1/x_2$. A razão ótima $x_1^*/x_2^*$ varia com a renda, pois todo o acréscimo de renda é absorvido por $x_2$.

Box Brasil — Lei de Engel e a POF: evidência contra a homoteticidade

A Lei de Engel (1857) afirma que a participação da alimentação no orçamento familiar cai à medida que a renda sobe. Essa regularidade empírica — uma das mais robustas de toda a economia — implica que a elasticidade-renda da alimentação é menor que 1 (bem necessário), violando a previsão de elasticidade unitária das preferências homotéticas.

Os dados da POF 2017-2018 (IBGE) confirmam a Lei de Engel para o Brasil com notável clareza:

Faixa de renda familiar (R$/mês)	Participação da alimentação (%)	Participação de transporte (%)	Participação de educação (%)
Até 1.908	22,0	11,5	1,6
1.908 a 2.862	18,5	14,2	2,0
5.724 a 9.540	12,1	18,8	3,7
Acima de 23.850	7,6	15,4	6,2

A alimentação segue o padrão engeliano clássico (de 22% para 7,6%), enquanto educação exibe comportamento oposto — bem de luxo, com participação crescente na renda. Transporte apresenta uma relação não monotônica: cresce nas faixas intermediárias e recua nas mais altas (possivelmente refletindo a troca de transporte público por automóvel próprio já amortizado).

Implicação teórica: preferências homotéticas — incluindo a Cobb-Douglas — são uma aproximação razoável dentro de uma faixa de renda estreita, mas não capturam a variação entre faixas. Modelos aplicados ao Brasil, como os que estimam impactos distributivos de reformas tributárias, devem usar especificações não homotéticas (como o AIDS de Deaton e Muellbauer) para capturar esses padrões.

Fonte: IBGE, Pesquisa de Orçamentos Familiares 2017-2018.

Intuição Econômica

Em uma frase: Com preferências homotéticas, ricos e pobres gastam a mesma proporção da renda em cada bem — só a escala muda.

Pense assim: Uma família homotética que gasta 30% da renda com alimentação e 70% com outros bens manterá essa proporção se sua renda dobrar, triplicar ou cair pela metade. O caminho de expansão da renda é uma reta que sai da origem — escalar a cesta ótima é como "dar zoom" na mesma cesta.

Por que isso importa: Essa propriedade permite agregar consumidores com rendas diferentes em um "consumidor representativo" — base de grande parte dos modelos macroeconômicos. Contudo, os dados da POF (ver Box Brasil, §3.6.6) mostram que preferências reais raramente são homotéticas: a participação da alimentação cai com a renda (Lei de Engel), evidenciando preferências não homotéticas na prática.

A Tabela 3.1 a seguir sintetiza as principais formas funcionais de utilidade discutidas neste capítulo, reunindo em uma única referência a expressão da função, a TMS, o formato das curvas de indiferença e a elasticidade de substituição de cada caso. Recomenda-se consultá-la sempre que surgir dúvida sobre as propriedades de uma forma funcional específica.

Tipo	Função $u(x_1, x_2)$	TMS$_{12}$	Curvas de indiferença	Elasticidade de substituição ($\sigma$)
Cobb-Douglas	$x_1^a x_2^b$	$\dfrac{a\, x_2}{b\, x_1}$	Hipérboles convexas	$1$
Substitutos perfeitos	$ax_1 + bx_2$	$\dfrac{a}{b}$ (constante)	Retas paralelas	$\infty$
Complementos perfeitos	$\min\{ax_1, bx_2\}$	Indefinida no vértice	Ângulo reto (L)	$0$
CES	$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{1/\rho}$	$\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^{\rho-1}$	Convexa (curvatura varia com $\rho$)	$\dfrac{1}{1-\rho}$
Quase-linear	$v(x_1) + x_2$	$v'(x_1)$	Translações verticais	Variável
Homotética (geral)	$g(h(x_1,x_2))$, $h$ homogênea grau 1	$\phi(x_1/x_2)$	Expansões radiais	Depende de $h$

Tabela 3.1 — Comparativa das funções de utilidade.

Como escolher a forma funcional certa?

Diante de tantas opções, como decidir qual função de utilidade usar em um modelo ou exercício? A escolha depende do objetivo da análise:

Cobb-Douglas: primeira escolha para modelos teóricos que exigem soluções analíticas em forma fechada. Ideal para exercícios e demonstrações pedagógicas. Limitação: elasticidade de substituição fixa em 1 e participação constante na despesa.
CES: preferida em trabalhos empíricos e modelos de comércio internacional (Armington), pois permite estimar a elasticidade de substituição $\sigma$ a partir dos dados. Também útil quando se deseja generalidade teórica sem perder tratabilidade.
Substitutos perfeitos: para mercados em que os bens são essencialmente intercambiáveis (commodities homogêneas, marcas genéricas). Gera soluções de canto — útil para ilustrar especialização.
Complementos perfeitos (Leontief): para insumos que devem ser usados em proporções fixas. Aparece frequentemente na teoria da produção (Capítulo 10) e em modelos de equilíbrio geral computável.
Quase-linear: a escolha natural para análises de equilíbrio parcial e modelos de organização industrial, pois elimina efeitos renda e garante $VC = VE = \Delta EC$. Ideal quando o foco é um mercado específico.

Regra prática: comece com a forma mais simples que capture o fenômeno de interesse. Se a Cobb-Douglas for suficiente, não use a CES.

Figura 3.4 — Comparação dos quatro tipos de preferências: Cobb-Douglas (hipérboles convexas), substitutos perfeitos (retas), complementos perfeitos (ângulo reto) e quase-linear (translações verticais).

Figura 3.5 — Superfície 3D da função de utilidade. Rotacione e aplique zoom com o mouse. Use o menu para trocar entre Cobb-Douglas, substitutos perfeitos (plano), complementos perfeitos (superfície em cunha), CES e quase-linear. Ajuste os parâmetros nos sliders.

Figura 3.6 — Homotética vs quase-linear: compare a expansão da renda. À esquerda (Cobb-Douglas), o caminho de expansão é um raio da origem — a razão $x_1/x_2$ é constante. À direita (quase-linear), o caminho é vertical — $x_1$ não muda com a renda. Ajuste $I$ e $p_1/p_2$ nos sliders.

Exercício Resolvido 3.2

Enunciado: Considere a função CES $u(x_1, x_2) = (x_1^{\rho} + x_2^{\rho})^{1/\rho}$ com $\rho = -1$. (a) Calcule a elasticidade de substituição. (b) Derive a TMS. (c) Compare as curvas de indiferença com os casos Cobb-Douglas e complementos perfeitos.

Dados: $\rho = -1$, logo $u(x_1, x_2) = (x_1^{-1} + x_2^{-1})^{-1}$.

Resolução:

Passo 1 — Elasticidade de substituição

\[ \sigma = \frac{1}{1-\rho} = \frac{1}{1-(-1)} = \frac{1}{2} \]

A elasticidade de substituição é $1/2$, um valor entre 0 (complementos perfeitos) e 1 (Cobb-Douglas). Isso indica substituibilidade baixa, mas não nula.

Passo 2 — Cálculo da TMS

Usando a fórmula geral da CES:

\[ \text{TMS}_{12} = \left(\frac{x_1}{x_2}\right)^{\rho-1} = \left(\frac{x_1}{x_2}\right)^{-2} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{2} \]

Passo 3 — Comparação com outros casos

Com $\sigma = 1/2$, as curvas de indiferença são convexas e mais "encurvadas" do que as da Cobb-Douglas ($\sigma = 1$), mas sem o ângulo reto dos complementos perfeitos ($\sigma = 0$). Intuitivamente, o consumidor aceita trocar um bem pelo outro, mas exige compensações crescentes de maneira mais acentuada do que no caso Cobb-Douglas.

Resultado: $\sigma = 1/2$; $\text{TMS}_{12} = (x_2/x_1)^2$.

Interpretação econômica: No contexto brasileiro, uma elasticidade de substituição baixa como $\sigma = 1/2$ pode descrever, por exemplo, a relação entre energia elétrica e gás de cozinha para cocção: o consumidor pode substituir parcialmente um pelo outro (fogão elétrico vs. fogão a gás), mas com dificuldade crescente — refletindo custos de troca de equipamentos e hábitos de consumo enraizados.

Box Mundo 3.2 — Elasticidades de substituição no comércio internacional: as elasticidades de Armington

Contexto: A função CES apresentada na Seção 3.6.4 não é apenas uma ferramenta teórica para modelar preferências individuais — ela é a base de praticamente todos os modelos de comércio internacional utilizados por organizações como a OMC, o FMI e o Banco Mundial. Em 1969, Paul Armington propôs tratar bens importados de diferentes países como substitutos imperfeitos, modelando as preferências dos compradores (consumidores, firmas ou governos) por bens diferenciados por origem com uma função CES. Nesse enquadramento, a elasticidade de substituição $\sigma$ mede o grau em que compradores estão dispostos a trocar, por exemplo, aço brasileiro por aço chinês em resposta a variações de preços relativos.

Dados: A estimação das chamadas "elasticidades de Armington" é uma indústria acadêmica por si só. O trabalho de referência de Broda e Weinstein (2006) estimou elasticidades de substituição para mais de 10.000 categorias de produtos importados pelos Estados Unidos no período 1972–2001 e encontrou uma mediana de $\sigma \approx 3{,}1$, com variação enorme entre setores: commodities homogêneas como petróleo bruto apresentam $\sigma > 20$ (quase substitutos perfeitos entre origens), enquanto bens diferenciados como automóveis e vinhos apresentam $\sigma$ entre 1 e 3 (substituição limitada). O modelo GTAP (Global Trade Analysis Project), utilizado pela OMC para avaliar rodadas de negociação, adota elasticidades de Armington calibradas setorialmente: $\sigma = 5{,}2$ para grãos, $\sigma = 2{,}8$ para manufaturas e $\sigma = 1{,}9$ para serviços. Hertel et al. (2007) mostram que os resultados de simulação são altamente sensíveis a esses parâmetros: dobrar a elasticidade de Armington pode triplicar os ganhos estimados de uma liberalização comercial.

Análise: A aplicação das elasticidades de Armington ao comércio internacional ilustra três pontos centrais da Seção 3.6. Primeiro, a flexibilidade da função CES: ao variar $\sigma$, o mesmo arcabouço analítico cobre desde bens quase homogêneos ($\sigma \to \infty$, substitutos perfeitos) até bens altamente diferenciados ($\sigma \to 0$, complementos perfeitos). Segundo, a importância empírica do parâmetro $\sigma$: políticas comerciais que parecem benéficas sob elasticidades altas podem ser inócuas ou até prejudiciais sob elasticidades baixas. Terceiro, a conexão entre microeconomia e macroeconomia: preferências CES de consumidores individuais, quando agregadas, determinam fluxos de comércio entre nações e os efeitos de políticas tarifárias sobre o bem-estar global. Para o Brasil, as elasticidades de Armington são particularmente relevantes na avaliação de acordos comerciais como o Mercosul-UE, onde o grau de substituibilidade entre produtos brasileiros e europeus determina os ganhos e perdas setoriais esperados.

Fonte: Armington, P. S. (1969). A theory of demand for products distinguished by place of production. IMF Staff Papers, 16(1), 159–178. Broda, C.; Weinstein, D. E. (2006). Globalization and the gains from variety. Quarterly Journal of Economics, 121(2), 541–585. Hertel, T.; Hummels, D.; Ivanic, M.; Keeney, R. (2007). How confident can we be of CGE-based assessments of free trade agreements? Economic Modelling, 24(4), 611–635.

Em resumo: a Cobb-Douglas é a melhor amiga do microeconomista — fácil de usar, gera soluções fechadas, e nunca reclama. A CES é mais versátil mas exige mais trabalho. A Leontief é inflexível — literalmente: só aceita proporções fixas. E a quase-linear é a favorita da análise de bem-estar, porque isola efeito renda em um único bem. Escolher a forma funcional certa para cada problema é metade da arte.

3.7 Transformações Monotônicas e Invariância Ordinal¶

Aqui vai uma informação libertadora: a função de utilidade que você escolhe não importa — desde que preserve o ranking. Se $u$ diz que pizza é melhor que salada, e você aplica logaritmo, $\ln u$ continua dizendo que pizza é melhor que salada. Pode elevar ao cubo, multiplicar por mil, somar uma constante — nada muda na economia. É como medir temperatura em Celsius ou Fahrenheit: os números são diferentes, mas a água ferve no mesmo ponto.

Essa liberdade é um presente prático enorme: quando uma Cobb-Douglas $u = x_1^{0{,}3} x_2^{0{,}7}$ está dando dor de cabeça, basta tomar o log e trabalhar com $\ln u = 0{,}3 \ln x_1 + 0{,}7 \ln x_2$ — que é linear e muito mais tratável. As preferências são as mesmas; só a embalagem mudou.

Proposição 3.3 — Invariância sob transformação monotônica

Se $u(\mathbf{x})$ representa $\succsim$ e $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ é estritamente crescente, então $\hat{u}(\mathbf{x}) = f(u(\mathbf{x}))$ também representa $\succsim$.

A demonstração é direta e vale a pena percorrer, pois ilustra a simplicidade do argumento ordinal: como $f$ é estritamente crescente, a desigualdade $u(\mathbf{x}) \geq u(\mathbf{y})$ é preservada pela aplicação de $f$, de modo que $f(u(\mathbf{x})) \geq f(u(\mathbf{y}))$. Reciprocamente, se $f(u(\mathbf{x})) \geq f(u(\mathbf{y}))$, a monotonicidade estrita de $f$ garante que $u(\mathbf{x}) \geq u(\mathbf{y})$. Portanto, $\hat{u}$ preserva exatamente o mesmo ordenamento que $u$.

Intuição Econômica

Em uma frase: Você pode trocar a "régua" que mede a utilidade sem alterar as preferências — qualquer escala que preserve a ordem serve.

Pense assim: É como converter temperatura de Celsius para Fahrenheit: os números mudam, mas a água continua fervendo antes do metal derreter. Da mesma forma, se você aplica logaritmo na utilidade Cobb-Douglas para facilitar as contas, o consumidor continua preferindo as mesmas cestas de antes.

Por que isso importa: Isso dá ao economista liberdade para escolher a forma funcional que facilite os cálculos — por exemplo, trabalhar com $\ln u$ em vez de $u$ — sem perder informação econômica.

Exemplos de transformações monotônicas úteis. Duas aplicações da invariância ordinal são especialmente frequentes na prática:

A Cobb-Douglas $u = x_1^a x_2^b$ pode ser transformada em $\hat{u} = a \ln x_1 + b \ln x_2$ via $f(u) = \ln(u)$. O logaritmo transforma o produto em soma, eliminando os expoentes e simplificando consideravelmente as derivadas parciais e a resolução das condições de primeira ordem.
Qualquer Cobb-Douglas pode ser normalizada de modo que $\hat{u} = \frac{a}{a+b} \ln x_1 + \frac{b}{a+b} \ln x_2$, com coeficientes somando 1. Essa normalização é conveniente porque os coeficientes passam a coincidir com as participações na despesa — tornando a interpretação econômica imediata.

Figura 3.7 — Transformação Monotônica e Invariância Ordinal. Esquerda: curvas de indiferença de $U = x_1 x_2$. Direita: curvas da transformada $\hat{U} = f(U)$. As curvas são idênticas — apenas os rótulos numéricos mudam. Escolha entre $\ln$, $\sqrt{}$, $U^2$, $U^3$ e $-1/U$. Mova o ponto de referência para verificar que a TMS é a mesma em ambos os painéis.

Transformação monotônica em ação: simplificando a CES

A função CES $u = (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$ envolve uma raiz que complica as derivadas parciais. Aplique a transformação monotônica $f(u) = u^\rho$ (estritamente crescente para $u > 0$ quando $\rho > 0$, e estritamente decrescente — mas aí tomamos $f(u) = -u^\rho$ — para $\rho < 0$). O resultado é:

\[ \hat{u} = x_1^\rho + x_2^\rho \]

Agora as CPOs ficam muito mais simples:

\[ \frac{\partial \hat{u}}{\partial x_1} = \rho \, x_1^{\rho-1}, \qquad \frac{\partial \hat{u}}{\partial x_2} = \rho \, x_2^{\rho-1} \]

E a TMS se obtém diretamente: $\text{TMS}_{12} = (x_1/x_2)^{\rho-1}$ — o mesmo resultado da equação $\eqref{eq:3.6.12}$, mas com cálculo muito mais rápido. Essa é a essência da invariância ordinal: simplificar a álgebra sem alterar a economia.

Implicações práticas da ordinalidade

A TMS é invariante sob transformações monotônicas. A utilidade marginal, porém, não é invariante: ela muda com a transformação. Por isso, a utilidade marginal não tem significado cardinal — apenas a razão entre utilidades marginais (a TMS) possui significado econômico bem definido.

Exercício Resolvido 3.3

Enunciado: Mostre que $u(x_1, x_2) = \ln x_1 + 2\ln x_2$ e $v(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2^2$ representam as mesmas preferências, e verifique que ambas produzem a mesma TMS.

Resolução:

Passo 1 — Identificar a transformação monotônica

Note que $u = \ln x_1 + 2\ln x_2 = \ln(x_1 \cdot x_2^2) = \ln(v)$. Portanto, $u = f(v)$ com $f(v) = \ln(v)$, que é estritamente crescente para $v > 0$. Pela Proposição 3.3, $u$ e $v$ representam as mesmas preferências.

Passo 2 — TMS pela função $u$

\[ \text{TMS}_{12}^{(u)} = \frac{\partial u/\partial x_1}{\partial u/\partial x_2} = \frac{1/x_1}{2/x_2} = \frac{x_2}{2x_1} \]

Passo 3 — TMS pela função $v$

\[ \text{TMS}_{12}^{(v)} = \frac{\partial v/\partial x_1}{\partial v/\partial x_2} = \frac{x_2^2}{2x_1 x_2} = \frac{x_2}{2x_1} \]

Resultado: $\text{TMS}_{12}^{(u)} = \text{TMS}_{12}^{(v)} = \dfrac{x_2}{2x_1}$.

Interpretação econômica: As utilidades marginais diferem — para $u$, $\text{UMg}_1 = 1/x_1$; para $v$, $\text{UMg}_1 = x_2^2$ — mas a TMS é idêntica. Isso confirma que a TMS é a grandeza economicamente relevante: ela mede a taxa de troca subjetiva do consumidor, independentemente da "escala" escolhida para medir a utilidade. Na prática, o economista pode escolher a representação que facilite os cálculos sem perda de conteúdo econômico.

As seções anteriores construíram progressivamente o arcabouço teórico das preferências: partimos de axiomas mínimos de coerência, chegamos à função de utilidade via o Teorema de Debreu, derivamos curvas de indiferença e TMS como ferramentas geométricas e analíticas, exploramos as principais formas funcionais — Cobb-Douglas, substitutos e complementos perfeitos, CES e quase-linear — e, por fim, demonstramos que a invariância ordinal confere liberdade ao analista na escolha da representação. A progressão foi deliberada: cada conceito se construiu sobre os anteriores, formando uma cadeia lógica que vai da abstração dos axiomas à concretude das formas funcionais.

Antes de consolidar esses conceitos no resumo do capítulo, vale observar como esse arcabouço se manifesta — e, por vezes, é posto à prova — em um contexto histórico concreto do Brasil. O Box a seguir mostra que as mudanças nos padrões de consumo após a estabilização monetária de 1994 podem ser interpretadas à luz da teoria das preferências desenvolvida nestas páginas.

Box Brasil — O Plano Real e a revolução no consumo

A hiperinflação brasileira que antecedeu o Plano Real (julho de 1994) distorcia profundamente as preferências reveladas dos consumidores. Com taxas de inflação que chegaram a superar 2.000% ao ano em 1993, o comportamento de compra era dominado pela antecipação de consumo: famílias corriam ao supermercado no dia do pagamento para converter salários em bens antes que os preços subissem.

Dados da Pesquisa de Orçamentos Familiares (POF) do IBGE revelam mudanças marcantes nos padrões de consumo ao longo das décadas:

Antes da estabilização (POF 1987-88): famílias de baixa renda concentravam até 53% dos gastos em alimentação, com forte preferência por produtos estocáveis e não perecíveis — um reflexo racional da tentativa de manter o valor real da renda.
Após a estabilização (POF 1995-96 e 2002-03): a participação da alimentação caiu para cerca de 33% nas famílias de menor renda, com diversificação para bens duráveis, serviços de lazer e educação.
POF 2017-18: a tendência de diversificação se manteve, com crescimento expressivo dos gastos com comunicação (telefonia móvel) e transporte.

Do ponto de vista da teoria das preferências, a estabilização monetária não apenas alterou a restrição orçamentária (via ganho de renda real, sobretudo para os mais pobres), mas também permitiu que as preferências subjacentes se manifestassem sem a distorção imposta pelo imposto inflacionário.

O conceito de TMS decrescente ganha concretude nesse contexto: à medida que cestas de alimentação básica se tornaram acessíveis com menor fração da renda, os consumidores puderam mover-se ao longo de suas curvas de indiferença em direção a cestas mais diversificadas.

Vasconcellos e Garcia (2014) contextualizam os ciclos econômicos brasileiros que moldaram essas transformações nas escolhas de consumo.

Fonte: IBGE, Pesquisa de Orçamentos Familiares (várias edições); Barros, R. P. de; Foguel, M. N.; Ulyssea, G. (orgs.). Desigualdade de renda no Brasil: uma análise da queda recente. Brasília: IPEA, 2007.

Box Mundo 3.3 — Preferência revelada em big data: dados de scanner de supermercados e testes do GARP

Contexto: A teoria do consumidor desenvolvida neste capítulo repousa sobre axiomas — completude, transitividade, continuidade, monotonicidade — que são hipóteses sobre as preferências dos agentes. Mas como verificar empiricamente se consumidores reais se comportam de acordo com esses axiomas? A resposta clássica vem da teoria da preferência revelada (que será formalizada na Seção 5.9): se observarmos as escolhas de um consumidor em diferentes situações de preço e renda, podemos testar se essas escolhas são compatíveis com a maximização de alguma função de utilidade. O critério operacional é o Axioma Generalizado da Preferência Revelada (GARP, Generalized Axiom of Revealed Preference), formulado por Varian (1982): se as escolhas observadas satisfazem o GARP, então existe uma função de utilidade que as racionaliza. A revolução dos dados de scanner de supermercados — registros eletrônicos de cada item comprado por cada consumidor — abriu, a partir dos anos 2000, a possibilidade de testar essa hipótese com milhões de observações individuais.

Dados: Echenique, Lee e Shum (2011, American Economic Review) utilizaram dados de scanner do painel Homescan da Nielsen, que rastreia todas as compras de supermercado de uma amostra representativa de famílias americanas ao longo de vários anos. Com observações de preços e quantidades de centenas de produtos para cada família, os autores testaram o GARP individualmente para mais de 500 famílias. O resultado principal: apenas cerca de 5% das famílias apresentaram violações do GARP, e mesmo essas violações foram de magnitude pequena — medidas pelo índice de Afriat (1967), que quantifica o grau de inconsistência, as violações raramente ultrapassaram 1% do orçamento. Dean e Martin (2016, American Economic Review) confirmaram esses resultados usando dados experimentais com escolhas sobre cestas reais de bens, encontrando taxas de violação do GARP inferiores a 10%. Na Europa, Cherchye, De Rock e Vermeulen (2011, Review of Economics and Statistics) aplicaram testes de preferência revelada a microdados belgas e holandeses, concluindo que o modelo coletivo de consumo domiciliar (onde marido e mulher têm preferências distintas) racionaliza os dados significativamente melhor do que o modelo unitário — evidência de que a unidade de decisão importa para a validade dos axiomas.

Análise: Esses resultados fornecem suporte empírico notável para os axiomas apresentados na Seção 3.1: na grande maioria dos casos, as escolhas de consumo observadas em dados de alta frequência são compatíveis com a existência de uma função de utilidade racional. A taxa de violação de 5% é consistente com a evidência de intransitividade discutida no Box Mundo 3.1 — violações existem, mas são a exceção, não a regra. Do ponto de vista da Seção 3.7 (invariância ordinal), os testes de preferência revelada são particularmente elegantes: eles verificam se existe alguma função de utilidade compatível com os dados, sem impor uma forma funcional específica (Cobb-Douglas, CES, etc.) — exatamente porque a utilidade é ordinal e qualquer transformação monotônica preserva o ordenamento. A explosão de dados de scanner e de compras online oferece oportunidades sem precedentes para testar a teoria do consumidor em escala, transformando os axiomas deste capítulo de postulados filosóficos em hipóteses empiricamente verificáveis.

Fonte: Varian, H. R. (1982). The nonparametric approach to demand analysis. Econometrica, 50(4), 945–973. Echenique, F.; Lee, S.; Shum, M. (2011). The money pump as a measure of revealed preference violations. American Economic Review, 101(4), 1645–1651. Cherchye, L.; De Rock, B.; Vermeulen, F. (2011). The revealed preference approach to collective consumption behaviour. Review of Economics and Statistics, 93(1), 223–238.

Sabemos o que o consumidor quer. Falta descobrir o que ele pode.

🧠 Revisão Rápida¶

Teste seu entendimento dos conceitos centrais deste capítulo.

1. O axioma de transitividade das preferências implica que:

(a) O consumidor sempre prefere mais a menos
(b) Se $A \succsim B$ e $B \succsim C$, então $A \succsim C$
(c) O consumidor consegue comparar quaisquer duas cestas
(d) A utilidade marginal é sempre decrescente

Resposta

(b) Transitividade exige consistência nas ordenações: se A é pelo menos tão bom quanto B, e B pelo menos tão bom quanto C, então A deve ser pelo menos tão bom quanto C. A alternativa (a) descreve monotonicidade; (c) descreve completude; (d) é uma propriedade da função de utilidade, não um axioma sobre preferências.

2. Se $u(x_1, x_2) = x_1^{0{,}5} x_2^{0{,}5}$ e $v = 2u + 10$, é correto afirmar que:

(a) $v$ representa preferências diferentes de $u$, pois os valores numéricos mudam
(b) $v$ representa as mesmas preferências, pois é uma transformação monotônica crescente de $u$
(c) $v$ só representa as mesmas preferências se a renda do consumidor não mudar
(d) $v$ inverte a ordenação das cestas em relação a $u$

Resposta

(b) A função de utilidade é ordinal: qualquer transformação monotônica crescente $v = g(u)$ com $g' > 0$ preserva a ordenação das cestas e, portanto, representa as mesmas preferências. A alternativa (a) confunde valores cardinais com ordinais; (c) adiciona condição inexistente; (d) seria verdade apenas para transformações decrescentes.

3. A Taxa Marginal de Substituição (TMS) entre dois bens mede:

(a) A razão entre os preços dos dois bens no mercado
(b) A quantidade de um bem que o consumidor está disposto a abrir mão para obter uma unidade adicional do outro, mantendo a utilidade constante
(c) A variação percentual na demanda de um bem quando o preço do outro varia
(d) O custo de oportunidade de produzir um bem em vez do outro

Resposta

(b) A TMS é a inclinação da curva de indiferença e mede a taxa subjetiva de troca entre bens que mantém o consumidor indiferente. Matematicamente, $\text{TMS}_{12} = -dx_2/dx_1|_{u=\bar{u}} = \text{UMg}_1/\text{UMg}_2$. A alternativa (a) descreve a inclinação da restrição orçamentária; (c) descreve elasticidade cruzada; (d) refere-se à produção.

4. As curvas de indiferença de preferências estritamente convexas são:

(a) Retas com inclinação constante
(b) Convexas em relação à origem (curvadas para fora)
(c) Côncavas em relação à origem (curvadas para dentro, 'arqueadas')
(d) Círculos concêntricos

Resposta

(c) Preferências convexas implicam que médias são preferidas a extremos, gerando curvas de indiferença côncavas em relação à origem (convexas do ponto de vista do conjunto preferido). A TMS é decrescente em valor absoluto. A alternativa (a) descreve substitutos perfeitos; (b) descreve preferências côncavas (não convexas); (d) não é uma forma padrão.

5. Qual das seguintes funções de utilidade representa preferências por complementos perfeitos?

(a) $u(x_1, x_2) = x_1 + x_2$
(b) $u(x_1, x_2) = \min(x_1, x_2)$
(c) $u(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2$
(d) $u(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2$

Resposta

(b) Complementos perfeitos são consumidos em proporções fixas; a utilidade é determinada pelo bem em menor quantidade relativa, representada pela função $\min$. As curvas de indiferença são em L. A alternativa (a) representa substitutos perfeitos; (c) representa preferências Cobb-Douglas; (d) representa preferências côncavas (não convexas), onde o consumidor prefere extremos a médias.

📋 Resumo do Capítulo¶

A teoria do consumidor parte de axiomas sobre preferências — completude, transitividade, continuidade e monotonicidade — que estabelecem regras mínimas de coerência para ordenar cestas de consumo. Esses axiomas são o alicerce sobre o qual todo o resto se constrói: sem eles, não há função de utilidade, não há curvas de indiferença e não há otimização.
Sob esses axiomas, o Teorema de Debreu (1954) garante a existência de uma função de utilidade contínua que representa as preferências. Essa função é ordinal: apenas o ordenamento das cestas importa, não os valores numéricos em si. A ordinalidade implica que qualquer transformação monotônica crescente da função de utilidade representa as mesmas preferências (Seção 3.7).
As curvas de indiferença são curvas de nível da função de utilidade: cobrem todo o espaço de consumo, não se cruzam (pela transitividade), têm inclinação negativa (pela monotonicidade) e, sob convexidade estrita, são abauladas em direção à origem — refletindo a ideia de que o consumidor valoriza a diversidade na composição de sua cesta.
A taxa marginal de substituição (TMS) mede a taxa de troca subjetiva entre bens ao longo da curva de indiferença e equivale à razão das utilidades marginais: $\text{TMS}_{12} = \text{UMg}_1 / \text{UMg}_2$. A TMS decrescente — que reflete a disposição cada vez menor do consumidor a abrir mão de um bem à medida que ele se torna mais escasso na cesta — é matematicamente equivalente à convexidade estrita das preferências.
O capítulo apresenta as principais famílias de funções de utilidade — Cobb-Douglas, substitutos perfeitos, complementos perfeitos, CES e quase-linear — cada uma com formato de curvas de indiferença e elasticidade de substituição distintos. A função CES unifica as três primeiras como casos especiais de um único parâmetro $\rho$, enquanto a quase-linear se distingue por eliminar o efeito renda sobre um dos bens.
Preferências homotéticas (TMS depende apenas da razão $x_1/x_2$) geram curvas de Engel lineares, elasticidade-renda unitária e participação constante na despesa — propriedades que permitem a agregação em um consumidor representativo. Preferências quase-lineares, por contraste, concentram todo o efeito renda em um único bem e garantem que as medidas de bem-estar (VC, VE, $\Delta$EC) coincidam.

🔑 Conceitos-Chave¶

Conceito	Definição
Relação de preferência ($\succsim$)	Ordenamento sobre cestas de consumo indicando que uma cesta é "pelo menos tão boa quanto" outra.
Completude	Axioma que exige que o consumidor consiga comparar quaisquer duas cestas.
Transitividade	Axioma de consistência: se $\mathbf{x} \succsim \mathbf{y}$ e $\mathbf{y} \succsim \mathbf{z}$, então $\mathbf{x} \succsim \mathbf{z}$.
Monotonicidade	"Mais é melhor": cestas com mais de pelo menos um bem são estritamente preferidas.
Função de utilidade	Função $u: X \to \mathbb{R}$ que representa preferências: $\mathbf{x} \succsim \mathbf{y} \iff u(\mathbf{x}) \geq u(\mathbf{y})$. É ordinal.
Curva de indiferença	Conjunto de cestas que proporcionam o mesmo nível de utilidade; curva de nível de $u$.
Taxa marginal de substituição (TMS)	Quantidade do bem 2 que o consumidor abre mão por uma unidade adicional do bem 1, mantendo a utilidade constante; igual a $\text{UMg}_1/\text{UMg}_2$.
Elasticidade de substituição ($\sigma$)	Mede a facilidade com que o consumidor substitui entre bens; varia de 0 (complementos perfeitos) a $\infty$ (substitutos perfeitos).
Preferências homotéticas	Preferências cuja TMS depende apenas da razão $x_1/x_2$; geram elasticidade-renda unitária e participação constante na despesa.
Utilidade quase-linear	Função $u = v(x_1) + x_2$ em que todo aumento de renda vai para $x_2$; elimina o efeito renda sobre $x_1$ e iguala as medidas de bem-estar (VC = VE = $\Delta$EC).

Tabela 3.2 — Conceitos-chave.

✏️ Exercícios¶

Os exercícios a seguir cobrem os principais tópicos do capítulo — axiomas, funções de utilidade, TMS, formas funcionais e transformações monotônicas. Eles progridem em dificuldade: os primeiros requerem cálculos diretos de TMS para funções específicas, enquanto os últimos exigem demonstrações e raciocínio mais abstrato sobre propriedades das preferências. As soluções detalhadas estão disponíveis na seção de soluções.

Exercício 3.1. Considere um consumidor com preferências sobre dois bens ($x_1, x_2$) representadas pela função de utilidade $u(x_1, x_2) = x_1^{1/3} x_2^{2/3}$.

(a) Calcule a TMS$_{12}$.

(b) Qual o valor da TMS no ponto $(x_1, x_2) = (4, 8)$? Interprete economicamente.

(c) Mostre que a TMS é decrescente ao longo de uma curva de indiferença (ou seja, $\partial \text{TMS}_{12} / \partial x_1 < 0$ ao longo de $u = \bar{u}$).

Ver solução

Exercício 3.2. Mostre que a função de utilidade $u(x_1, x_2) = \ln x_1 + 2 \ln x_2$ representa as mesmas preferências que $v(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2^2$. Verifique que ambas produzem a mesma TMS.

Ver solução

Exercício 3.3. Um consumidor tem preferências do tipo CES com $\rho = -1$:

\[ u(x_1, x_2) = \left(x_1^{-1} + x_2^{-1}\right)^{-1}. \]

(a) Calcule a elasticidade de substituição.

(b) Derive a TMS$_{12}$.

(c) Esboce as curvas de indiferença. Elas estão mais próximas do caso Cobb-Douglas ou do caso de complementos perfeitos? Justifique.

Ver solução

Exercício 3.4. Considere preferências quase-lineares $u(x_1, x_2) = \sqrt{x_1} + x_2$.

(a) Calcule a TMS$_{12}$ e mostre que ela depende apenas de $x_1$.

(b) Desenhe duas curvas de indiferença e mostre que elas são translações verticais uma da outra.

(c) Explique por que, nesse caso, a demanda pelo bem 1 é independente da renda (para soluções interiores).

Ver solução

Exercício 3.5. Um economista propõe representar as preferências de um consumidor pela função $u(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2$.

(a) As curvas de indiferença dessa função são convexas em relação à origem? Justifique.

(b) A TMS é decrescente ao longo de uma curva de indiferença?

(c) Essa função satisfaz o axioma de preferências estritamente convexas? Que problema isso gera para a existência de soluções interiores no problema de otimização do consumidor?

Ver solução

Exercício 3.6. Considere a função de utilidade CES generalizada com pesos:

\[ u(x_1, x_2) = \left(\alpha \, x_1^{\rho} + (1-\alpha) \, x_2^{\rho}\right)^{1/\rho}, \quad 0 < \alpha < 1, \; \rho < 1, \; \rho \neq 0. \]

(a) Derive a TMS$_{12}$ e mostre que ela depende de $\alpha$, $\rho$ e da razão $x_1/x_2$.

(b) Mostre que, no caso $\alpha = 1/2$, a TMS no ponto $x_1 = x_2$ é igual a 1, independentemente de $\rho$.

(c) Interprete economicamente o papel do parâmetro $\alpha$: o que acontece com as curvas de indiferença quando $\alpha$ aumenta?

Ver solução

Exercício 3.7. Sejam duas funções de utilidade:

\[ u(x_1, x_2) = x_1^{1/2} \, x_2^{1/2}, \qquad v(x_1, x_2) = -\frac{1}{x_1 \, x_2}. \]

(a) Mostre que $v$ é uma transformação monotônica de $u$ e identifique a função $f$ tal que $v = f(u)$.

(b) Calcule a TMS$_{12}$ usando $u$ e usando $v$. Verifique que ambas coincidem.

(c) Compare as utilidades marginais de $u$ e de $v$. Embora ambas representem as mesmas preferências, os valores das utilidades marginais coincidem? Explique por que a utilidade marginal não possui significado econômico isolado.

Ver solução

Exercício 3.8. Um consumidor tem preferências representadas por $u(x_1, x_2) = \min\{2x_1, x_2\}$.

(a) Em que proporção o consumidor deseja consumir os dois bens? Justifique a partir da função de utilidade.

(b) Suponha que o consumidor possui renda $m = 120$ e enfrenta preços $p_1 = 10$ e $p_2 = 5$. Encontre a cesta ótima.

(c) Se o preço do bem 1 dobrar para $p_1 = 20$, qual será a nova cesta ótima? Calcule a variação percentual no consumo de cada bem e interprete.

Ver solução

Exercício 3.9. Demonstre que, para preferências homotéticas, a TMS depende apenas da razão $x_1/x_2$.

Dica: Seja $u(x_1, x_2) = g(h(x_1, x_2))$, onde $g' > 0$ e $h$ é homogênea de grau 1. Use o Teorema de Euler para mostrar que $\text{TMS}_{12} = h_1/h_2$, e depois explore a homogeneidade de grau zero das derivadas de uma função homogênea de grau 1.

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Exercício 3.10. A Pesquisa de Orçamentos Familiares (POF 2017-2018) mostra que famílias com renda mensal de R$ 1.908 gastam 22% da renda em alimentação, enquanto famílias com renda de R$ 23.850 gastam 7,6%.

(a) Calcule a elasticidade-renda aproximada da alimentação entre essas duas faixas de renda, usando a fórmula de arco-elasticidade:

\[ \varepsilon \approx \frac{\Delta Q / \bar{Q}}{\Delta I / \bar{I}} \]

onde $Q = s \cdot I$ é o gasto com alimentação ($s$ = participação), e $\bar{Q}$ e $\bar{I}$ são as médias dos dois pontos.

(b) A alimentação é um bem normal ou inferior? É um bem de luxo ou de necessidade? Justifique com base na elasticidade calculada.

(c) Esse padrão é compatível com preferências homotéticas? E com preferências Cobb-Douglas? Explique, relacionando com as propriedades da Seção 3.6.6.

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🏆 Vem, ANPEC!¶

ANPEC 2019 — Questão 01

Com relação às preferências do consumidor, indique quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas:

Item	Afirmação
0	Sendo $U(x, y)$ a função de utilidade em dois bens $x$ e $y$, $U(x, y) = \ln x \cdot \ln y$ representa uma função de utilidade quase-linear.
1	Podemos sempre extrair a transformação monotônica da função de utilidade do tipo Cobb-Douglas.
2	Uma função de utilidade do tipo $U(x, y) = (x + y)^{0,5}$ implica que $x$ e $y$ são bens substitutos perfeitos.
3	Uma função de utilidade do tipo $U(x, y) = x + y$ implica que $x$ e $y$ são bens complementares perfeitos.
4	$f(U) = U^2$ é uma transformação monotônica apenas para $U$ positivo.

Gabarito

Respostas: F V V F V

Justificativa por item:

Item 0 — F: A função $U(x,y) = \ln x \cdot \ln y$ não é quase-linear. Uma função quase-linear tem a forma $v(x_1) + x_2$, isto é, é linear em um dos bens e não linear no outro. O produto de logaritmos não se enquadra nessa estrutura.
Item 1 — V: Da Cobb-Douglas $u = x^a y^b$, podemos aplicar a transformação monotônica $f(u) = \ln(u)$, obtendo $\hat{u} = a\ln x + b\ln y$. Como $f$ é estritamente crescente para $u > 0$ (e a Cobb-Douglas é positiva no interior do consumo), a transformação é sempre válida.
Item 2 — V: A função $U(x,y) = (x+y)^{0,5}$ é uma transformação monotônica de $V(x,y) = x + y$, via $f(V) = V^{0,5}$, que é estritamente crescente para $V > 0$. Como $V = x + y$ representa substitutos perfeitos (TMS constante igual a 1), $U$ também representa substitutos perfeitos (Proposição 3.3).
Item 3 — F: A função $U(x,y) = x + y$ é a representação clássica de substitutos perfeitos, com curvas de indiferença retas e TMS constante igual a 1. Complementares perfeitos seriam representados por $\min\{x, y\}$.
Item 4 — V: A função $f(U) = U^2$ tem derivada $f'(U) = 2U$. Para $U > 0$, $f'(U) > 0$ e a transformação é estritamente crescente (monotônica). Para $U < 0$, $f'(U) < 0$ e a função é decrescente, invertendo o ordenamento — logo, não é uma transformação monotônica nesse domínio.

ANPEC 2021 — Questão 01

Seja um consumidor com função de utilidade dada por $U = X^2 + Y^2$, em que $X$ é a quantidade consumida de entradas de cinema e $Y$ é a quantidade consumida de pizzas. Com relação a este consumidor, verifique quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas:

Item	Afirmação
0	A taxa marginal de substituição deste consumidor é $X/Y$.
1	A cesta $(X = 2, Y = 1)$ e a cesta $(X = 1, Y = 2)$ se encontram sobre a mesma curva de indiferença.
2	As curvas de indiferença do consumidor são estritamente convexas entre as cestas $(X = 2, Y = 1)$ e $(X = 1, Y = 2)$.
3	$X$ e $Y$ são substitutos perfeitos.
4	O bem $Y$ é um mal.

Gabarito

Respostas: V V F F F

Justificativa por item:

Item 0 — V: $\text{TMS} = \frac{\text{UMg}_X}{\text{UMg}_Y} = \frac{2X}{2Y} = \frac{X}{Y}$. Correto.
Item 1 — V: $U(2,1) = 4 + 1 = 5$ e $U(1,2) = 1 + 4 = 5$. Ambas geram o mesmo nível de utilidade, logo pertencem à mesma curva de indiferença.
Item 2 — F: As curvas de indiferença de $U = X^2 + Y^2 = c$ são arcos de circunferência — côncavas em relação à origem, não convexas. O conjunto superior $\{(X,Y): X^2+Y^2 \geq c\}$ não é convexo. Este é exatamente o caso discutido no Exercício 3.5 do capítulo.
Item 3 — F: Substitutos perfeitos têm curvas de indiferença retas (TMS constante). Aqui, a TMS $= X/Y$ varia com a composição da cesta e as curvas são circulares, não retas.
Item 4 — F: $\text{UMg}_Y = 2Y > 0$ para $Y > 0$, logo mais pizza aumenta a utilidade. O bem $Y$ não é um mal.

ANPEC 2021 — Questão 02

Considere a Teoria da Utilidade para responder quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas:

Item	Afirmação
0	Todos os tipos de preferências podem ser representados pela função de utilidade.
1	Sejam dois bens, $X$ e $Y$. A uma função de utilidade dada por $U(X, Y) = XY$ corresponde uma curva de indiferença típica dada por $Y = cX$, em que $c$ é uma constante.
2	Se dois bens ($A$ e $B$) forem substitutos perfeitos, pode-se, em geral, representar sua função de utilidade na forma $U(A, B) = c_1 A + c_2 B$, em que $c_1$ e $c_2$ são constantes positivas.
3	A inclinação de uma curva de indiferença típica da função de utilidade $U(A, B) = c_1 A + c_2 B$, em que $c_1$ e $c_2$ são constantes positivas, é $-c_1/c_2$.
4	A transformação monotônica de uma função de utilidade não altera a taxa marginal de substituição (TMS), porque a TMS é medida ao longo de uma curva de indiferença, e a utilidade permanece constante ao longo da curva de indiferença.

Gabarito

Respostas: F F V V V

Justificativa por item:

Item 0 — F: Nem todos os tipos de preferências admitem representação por função de utilidade. As preferências lexicográficas, por exemplo, são completas e transitivas mas violam o axioma de continuidade — e, conforme discutido na Seção 3.1, sem continuidade não se garante a existência de uma função de utilidade contínua (Teorema 3.1).
Item 1 — F: Para $U(X,Y) = XY$, as curvas de indiferença são $XY = k$, ou seja, $Y = k/X$ — hipérboles retangulares, não retas pela origem. A equação $Y = cX$ descreveria retas, o que é incorreto.
Item 2 — V: A função $U(A,B) = c_1 A + c_2 B$, com $c_1, c_2 > 0$, gera curvas de indiferença retas com TMS constante $= c_1/c_2$, que é a definição de substitutos perfeitos.
Item 3 — V: A inclinação da curva de indiferença é $dB/dA|_{U=\bar{u}} = -c_1/c_2$. Correto, conforme a Seção 3.6.2.
Item 4 — V: Uma transformação monotônica $\hat{u} = f(u)$ preserva as curvas de indiferença (mesmos conjuntos de nível, apenas com rótulos diferentes). Como a TMS depende apenas da inclinação da curva de indiferença, ela é invariante (Proposição 3.3 e Seção 3.7).

ANPEC 2023 — Questão 03

Com relação à Teoria do Consumidor, julgue as afirmações abaixo:

Item	Afirmação
0	Se $U(X, Y) = \sqrt{X} + \sqrt{Y}$, então a elasticidade de substituição é igual a 2.
1	Se $U(X, Y)$ é uma função de utilidade diferenciável homogênea de grau $k$, com $U(X, Y) \neq 0$, e se $\eta_X(X, Y)$ e $\eta_Y(X, Y)$ denotam a elasticidade de $U$ relativamente a $X$ e $Y$, respectivamente, então $\eta_X(X, Y) + \eta_Y(X, Y) = k$.
2	Considere o conjunto $X = \bigcup_{n=1}^{\infty}\{1 - 1/n\}$ e defina $\succsim$ sobre $X$ por: $x \succsim y$ se, e somente se, $\lvert x - 1/2 \rvert \geq \lvert y - 1/2 \rvert$. Então $\succsim$ é contínua.
3	Considere o conjunto $X = [0,2] \times [0,2]$ e defina $\succsim$ sobre $X$ por: $(x,y) \succsim (z,w)$ se, e somente se, $\lVert (x,y) - (1,1) \rVert \geq \lVert (z,w) - (1,1) \rVert$. Então $(0,0)$ é um elemento maximal.
4	A ordem lexicográfica é contínua.

Gabarito

Respostas: V V F V F

Justificativa por item:

Item 0 — V: A função $U = X^{1/2} + Y^{1/2}$ é uma CES com $\rho = 1/2$. A elasticidade de substituição é $\sigma = \frac{1}{1-\rho} = \frac{1}{1-1/2} = 2$. Correto — ver Seção 3.6.4.
Item 1 — V: Pelo teorema de Euler para funções homogêneas de grau $k$: $X \frac{\partial U}{\partial X} + Y \frac{\partial U}{\partial Y} = kU$. Dividindo ambos os lados por $U \neq 0$: $\eta_X + \eta_Y = k$, onde $\eta_i = \frac{x_i}{U}\frac{\partial U}{\partial x_i}$ é a elasticidade de $U$ em relação ao bem $i$.
Item 2 — F: A relação $\succsim$ definida pela distância a $1/2$ não satisfaz a propriedade de continuidade nesse conjunto. O conjunto $X = \{0, 1/2, 2/3, 3/4, \ldots\}$ acumula em $1 \notin X$, e a "utilidade" $|x - 1/2|$ converge para $1/2$ ao longo da sequência $x_n = 1 - 1/n$ sem nunca atingir esse supremo em $X$, o que compromete o fechamento dos conjuntos de contorno superiores quando se considera a topologia induzida pela reta real.
Item 3 — V: A relação ordena cestas pela distância à cesta $(1,1)$: quanto maior a distância, melhor. A cesta $(0,0)$ tem distância $\lVert(0,0)-(1,1)\rVert = \sqrt{2}$, que é a distância máxima possível em $[0,2] \times [0,2]$ a partir de $(1,1)$ (empatando com $(2,2)$, $(0,2)$ e $(2,0)$). Logo, $(0,0)$ é maximal.
Item 4 — F: A ordem lexicográfica não é contínua — este é o exemplo clássico discutido na Seção 3.1. Os conjuntos de contorno superior não são fechados, o que impede a representação por função de utilidade contínua (Teorema 3.1).

🔬 Pesquisa em Ação¶

Falk, A.; Becker, A.; Dohmen, T.; Enke, B.; Huffman, D.; Sunde, U. (2018). Global Evidence on Economic Preferences. Quarterly Journal of Economics, 133(4), 1645–1692.

Pergunta central: Os axiomas de preferência apresentados na Seção 3.1 são abstrações teóricas — mas como as preferências reais dos indivíduos variam entre países e dentro de cada sociedade? Existem padrões sistemáticos que conectem preferências a características demográficas, culturais e econômicas? Este artigo é o maior esforço empírico já realizado para responder a essas perguntas.

Método: Falk e coautores construíram o Global Preference Survey (GPS), um instrumento de pesquisa experimentalmente validado, aplicado a amostras representativas de 80.000 pessoas em 76 países — incluindo o Brasil. O GPS mede seis dimensões de preferências: paciência (preferência temporal), disposição a assumir riscos, reciprocidade positiva e negativa, altruísmo e confiança. A validação experimental foi realizada comparando as respostas da pesquisa com escolhas em experimentos com incentivos monetários reais.

Resultado principal: Há substancial heterogeneidade de preferências entre países, mas a variação dentro de cada país é ainda maior. Globalmente, preferências variam sistematicamente com idade, gênero e habilidade cognitiva — porém essas relações são parcialmente específicas de cada país. O Brasil apresenta níveis intermediários de paciência e disposição ao risco na comparação internacional, com heterogeneidade interna significativa — consistente com a elevada desigualdade socioeconômica do país.

Por que isso importa: O estudo demonstra que as preferências — fundamento de toda a teoria do consumidor — não são uniformes nem entre nem dentro de países. Diferenças de preferência ajudam a explicar variações em poupança, investimento em educação e comportamento de consumo, complementando os modelos baseados apenas em diferenças de renda e preços.

Relevância para o capítulo: O artigo conecta diretamente os axiomas da Seção 3.1 com evidências empíricas: se as preferências variam sistematicamente entre indivíduos, as funções de utilidade que as representam também diferem — o que justifica a diversidade de formas funcionais apresentadas na Seção 3.6. Além disso, a heterogeneidade de preferências dentro do Brasil reforça a importância de modelos que permitam diferenças individuais, como a análise por faixa de renda da POF discutida no Box Brasil sobre Cobb-Douglas.

Choi, S.; Kariv, S.; Müller, W.; Silverman, D. (2014). Who Is (More) Rational? American Economic Review, 104(6), 1518–1550.

Pergunta central: Os axiomas de preferência — especialmente a transitividade e a completude — são de fato satisfeitos pelas escolhas dos consumidores reais? E se houver variação na "racionalidade" das decisões, ela está correlacionada com resultados econômicos importantes, como a acumulação de riqueza?

Método: Choi e coautores conduziram um experimento em larga escala com uma amostra representativa da população holandesa (painel CentERpanel). Cada participante tomou 25 decisões de alocação entre dois bens sob restrições orçamentárias variadas. Os autores testaram se as escolhas observadas satisfazem o GARP (Generalized Axiom of Revealed Preference) — a condição necessária e suficiente para que os dados sejam consistentes com a maximização de alguma função de utilidade bem comportada (Teorema 3.1).

Resultado principal: A consistência com GARP varia substancialmente entre indivíduos: enquanto muitos participantes fazem escolhas quase perfeitamente racionais, outros violam sistematicamente os axiomas. Crucialmente, a consistência com a maximização de utilidade está fortemente correlacionada com a riqueza: um aumento de um desvio-padrão na consistência está associado a 15-19% a mais de riqueza acumulada. Essa associação é robusta mesmo controlando para renda, educação e outras variáveis.

Por que isso importa: O resultado sugere que a capacidade de tomar decisões consistentes com uma função de utilidade — ou seja, de satisfazer os axiomas da Seção 3.1 na prática — não é apenas uma abstração teórica, mas uma habilidade com consequências econômicas reais e mensuráveis.

Relevância para o capítulo: Este artigo testa empiricamente os fundamentos do Capítulo 3. O GARP é a tradução operacional dos axiomas de completude e transitividade para dados de consumo observados. Os resultados mostram que, embora a maioria dos consumidores se comporte de forma aproximadamente consistente com os axiomas, há variação significativa — o que justifica tanto o uso do arcabouço axiomático como ponto de partida quanto a atenção a seus limites, discutidos na observação sobre preferências lexicográficas (Seção 3.1).

Atkin, D. (2013). Trade, Tastes, and Nutrition in India. American Economic Review, 103(5), 1629–1663.

Pergunta central: As preferências dos consumidores — que a Seção 3.1 trata como dadas e estáveis — podem ser moldadas por forças econômicas como a abertura comercial? E, se as preferências mudam, quais são as consequências para o bem-estar, especialmente em dimensões como a nutrição?

Método: Atkin explora a liberalização comercial na Índia a partir de 1991 para investigar como a queda nos preços relativos de certos alimentos afetou não apenas as quantidades consumidas, mas os hábitos alimentares de longo prazo. Utilizando dados de consumo domiciliar de mais de 500.000 observações ao longo de duas décadas, o autor estima um modelo estrutural de demanda que permite distinguir entre movimentos ao longo de curvas de indiferença (substituição padrão) e deslocamentos das próprias curvas (mudança de preferências — formação de hábitos).

Resultado principal: A abertura comercial reduziu os preços de calorias, mas parte dos ganhos calóricos potenciais foi dissipada por mudanças nos gostos: consumidores expostos a preços mais baixos de certos alimentos desenvolveram preferências por esses alimentos que persistiram mesmo após os preços retornarem. O efeito-hábito reduziu em até 10% os ganhos nutricionais da liberalização, especialmente entre os mais pobres.

Relevância para o capítulo: O artigo questiona a hipótese de preferências estáveis que sustenta o arcabouço axiomático da Seção 3.1. Se as preferências são endógenas aos preços (via formação de hábitos), a função de utilidade $u(\mathbf{x})$ não é fixa — ela se desloca com o histórico de consumo. Isso tem implicações diretas para a interpretação das curvas de indiferença e da TMS: a "taxa de troca subjetiva" de hoje pode diferir da de amanhã, não por mudança de preços, mas por mudança nos próprios gostos. O resultado é especialmente relevante para países em desenvolvimento como o Brasil, onde mudanças estruturais rápidas (como o Plano Real, discutido no Box Brasil §3.7) alteram simultaneamente preços e hábitos.

Aguiar, M.; Bils, M. (2015). Has Consumption Inequality Mirrored Income Inequality? American Economic Review, 105(9), 2725–2756.

Pergunta central: A desigualdade de consumo acompanhou o aumento da desigualdade de renda nos Estados Unidos nas últimas décadas? Se as preferências são homotéticas (Seção 3.6.6), a resposta deveria ser sim — mas os dados contam uma história mais complexa.

Método: Aguiar e Bils utilizam dados da Consumer Expenditure Survey (CEX) e da Nielsen Homescan para construir medidas de desigualdade de consumo que corrigem problemas de mensuração nos dados de pesquisas domiciliares. A estratégia empírica central explora a Lei de Engel: bens com alta elasticidade-renda (bens de luxo) servem como "indicadores" de renda permanente, permitindo inferir desigualdade de consumo a partir da composição das cestas — e não apenas dos valores totais declarados, que sofrem viés de subdeclaração.

Resultado principal: Contrariamente a estudos anteriores que sugeriam estabilidade, a desigualdade de consumo cresceu significativamente entre 1980 e 2010, acompanhando de perto a desigualdade de renda. A chave metodológica foi usar a composição das cestas (participações engelianas) em vez de valores totais. As famílias mais ricas deslocaram seu consumo fortemente para bens de luxo (educação, lazer, serviços), enquanto as mais pobres mantiveram alta participação em necessidades (alimentação, moradia).

Relevância para o capítulo: O artigo mobiliza diretamente dois conceitos centrais do capítulo: a Lei de Engel (discutida no Box Brasil sobre homoteticidade, §3.6.6) e a distinção entre preferências homotéticas e não homotéticas. Se as preferências fossem homotéticas, a composição das cestas seria idêntica entre ricos e pobres — e a estratégia de identificação dos autores não funcionaria. O fato de que a estratégia é bem-sucedida é, em si, evidência empírica contra a homoteticidade. O resultado reforça a importância de modelos não homotéticos (como o AIDS) para análises distributivas — inclusive no contexto brasileiro, onde a POF revela padrões engelianos ainda mais pronunciados.

Thomas, D.; Strauss, J.; Henriques, M. H. (1991). How Does Mother's Education Affect Child Height? Journal of Human Resources, 26(2), 183–211.

Pergunta central: A educação materna afeta a nutrição infantil por meio de mudanças nas preferências (função de utilidade) ou apenas por mudanças na restrição orçamentária (renda e preços)? Utilizando dados brasileiros, este artigo seminal testa se mães mais educadas fazem escolhas alimentares qualitativamente diferentes para seus filhos — e não apenas quantitativamente maiores.

Método: Thomas, Strauss e Henriques utilizam microdados do ENDEF (Estudo Nacional da Despesa Familiar) de 1974-75, com informações antropométricas de crianças e características socioeconômicas de mais de 50.000 domicílios brasileiros. O modelo estima o efeito da educação materna sobre a estatura infantil (height-for-age), controlando para renda familiar, preços locais, acesso a serviços de saúde e região geográfica. A estratégia de identificação compara crianças dentro de faixas de renda similares, isolando o efeito da educação que opera via preferências (escolha de alimentos mais nutritivos, práticas de higiene) do efeito que opera via renda.

Resultado principal: A educação materna tem um efeito forte e robusto sobre a nutrição infantil, mesmo após controlar para renda: um ano adicional de escolaridade da mãe aumenta a estatura da criança em 0,3-0,5 cm. Crucialmente, o efeito é muito maior para a educação da mãe do que para a do pai, sugerindo que o canal relevante não é apenas renda (ambos os pais contribuem para a renda), mas a forma como a mãe aloca os recursos do domicílio entre as diferentes categorias de consumo — alimentação nutritiva, cuidados de saúde, saneamento.

Relevância para o capítulo: O artigo ilustra, com dados brasileiros, que a forma da função de utilidade — não apenas a restrição orçamentária — é determinante para os resultados de consumo. Nos termos do capítulo, mães com diferentes níveis de educação possuem curvas de indiferença com formatos distintos: mães mais educadas atribuem TMS mais alta a alimentos nutritivos em relação a outros bens, mesmo quando enfrentam os mesmos preços e a mesma renda. Isso reforça a mensagem do artigo de Falk et al. (2018) sobre a heterogeneidade de preferências e conecta-se à discussão sobre a Lei de Engel (Box Brasil §3.6.6): a composição da cesta depende não apenas de quanto se ganha, mas de quem decide como gastar.

📚 Referências do Capítulo¶

Aguiar, Mark, e Mark Bils. 2015. "Has Consumption Inequality Mirrored Income Inequality?" American Economic Review 105 (9): 2725–2756.
Atkin, David. 2013. "Trade, Tastes, and Nutrition in India." American Economic Review 103 (5): 1629–1663.
Barros, Ricardo Paes de, Miguel Nathan Foguel, e Gabriel Ulyssea, orgs. 2007. Desigualdade de renda no Brasil: uma análise da queda recente. Brasília: IPEA.
Besanko, David, e Ronald R. Braeutigam. 2014. Microeconomics. 5ª ed. Hoboken: Wiley. Capítulos 3–4.
Choi, Syngjoo, Shachar Kariv, Wieland Müller, e Dan Silverman. 2014. "Who Is (More) Rational?" American Economic Review 104 (6): 1518–1550.
Debreu, Gerard. 1954. "Representation of a preference ordering by a numerical function." In Decision Processes, editado por Robert M. Thrall, Clyde H. Coombs, e Robert L. Davis, 159–165. New York: Wiley.
Falk, Armin, Anke Becker, Thomas Dohmen, Benjamin Enke, David Huffman, e Uwe Sunde. 2018. "Global Evidence on Economic Preferences." Quarterly Journal of Economics 133 (4): 1645–1692.
IBGE — Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. 2019. Pesquisa de Orçamentos Familiares (POF) 2017–2018: Primeiros Resultados. Rio de Janeiro: IBGE.
Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, e Jerry R. Green. 1995. Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press. Capítulo 3.
Thomas, Duncan, John Strauss, e Maria-Helena Henriques. 1991. "How Does Mother's Education Affect Child Height?" Journal of Human Resources 26 (2): 183–211.
Nicholson, Walter, e Christopher M. Snyder. 2017. Microeconomic Theory. 12ª ed. Boston: Cengage Learning. Capítulo 3.
Varian, Hal R. 2015. Microeconomia: uma abordagem moderna. 9ª ed. Rio de Janeiro: Elsevier. Capítulos 3–5.

\(\rho\)	\(\sigma = \frac{1}{1-\rho}\)	\(\text{TMS}_{12}(4,8)\)	Interpretação
\(0{,}5\)	\(2\)	\((0{,}5)^{-0,5} = 1{,}41\)	Substituição fácil: troca 1,41 unidades de \(x_2\) por 1 de \(x_1\)
\(0\) (Cobb-Douglas)	\(1\)	\((0{,}5)^{-1} = 2\)	Substituição moderada
\(-1\)	\(0{,}5\)	\((0{,}5)^{-2} = 4\)	Substituição difícil: exige 4 unidades de \(x_2\) por 1 de \(x_1\)
\(-5\)	\(0{,}17\)	\((0{,}5)^{-6} = 64\)	Quase complementares: compensação altíssima

Tipo	Função \(u(x_1, x_2)\)	TMS\(_{12}\)	Curvas de indiferença	Elasticidade de substituição (\(\sigma\))
Cobb-Douglas	\(x_1^a x_2^b\)	\(\dfrac{a\, x_2}{b\, x_1}\)	Hipérboles convexas	\(1\)
Substitutos perfeitos	\(ax_1 + bx_2\)	\(\dfrac{a}{b}\) (constante)	Retas paralelas	\(\infty\)
Complementos perfeitos	\(\min\{ax_1, bx_2\}\)	Indefinida no vértice	Ângulo reto (L)	\(0\)
CES	\((x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{1/\rho}\)	\(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^{\rho-1}\)	Convexa (curvatura varia com \(\rho\))	\(\dfrac{1}{1-\rho}\)
Quase-linear	\(v(x_1) + x_2\)	\(v'(x_1)\)	Translações verticais	Variável
Homotética (geral)	\(g(h(x_1,x_2))\), \(h\) homogênea grau 1	\(\phi(x_1/x_2)\)	Expansões radiais	Depende de \(h\)

Item	Afirmação
0	Sendo \(U(x, y)\) a função de utilidade em dois bens \(x\) e \(y\), \(U(x, y) = \ln x \cdot \ln y\) representa uma função de utilidade quase-linear.
1	Podemos sempre extrair a transformação monotônica da função de utilidade do tipo Cobb-Douglas.
2	Uma função de utilidade do tipo \(U(x, y) = (x + y)^{0,5}\) implica que \(x\) e \(y\) são bens substitutos perfeitos.
3	Uma função de utilidade do tipo \(U(x, y) = x + y\) implica que \(x\) e \(y\) são bens complementares perfeitos.
4	\(f(U) = U^2\) é uma transformação monotônica apenas para \(U\) positivo.

Item	Afirmação
0	A taxa marginal de substituição deste consumidor é \(X/Y\).
1	A cesta \((X = 2, Y = 1)\) e a cesta \((X = 1, Y = 2)\) se encontram sobre a mesma curva de indiferença.
2	As curvas de indiferença do consumidor são estritamente convexas entre as cestas \((X = 2, Y = 1)\) e \((X = 1, Y = 2)\).
3	\(X\) e \(Y\) são substitutos perfeitos.
4	O bem \(Y\) é um mal.

Item	Afirmação
0	Se \(U(X, Y) = \sqrt{X} + \sqrt{Y}\), então a elasticidade de substituição é igual a 2.
1	Se \(U(X, Y)\) é uma função de utilidade diferenciável homogênea de grau \(k\), com \(U(X, Y) \neq 0\), e se \(\eta_X(X, Y)\) e \(\eta_Y(X, Y)\) denotam a elasticidade de \(U\) relativamente a \(X\) e \(Y\), respectivamente, então \(\eta_X(X, Y) + \eta_Y(X, Y) = k\).
2	Considere o conjunto \(X = \bigcup_{n=1}^{\infty}\{1 - 1/n\}\) e defina \(\succsim\) sobre \(X\) por: \(x \succsim y\) se, e somente se, \(\lvert x - 1/2 \rvert \geq \lvert y - 1/2 \rvert\). Então \(\succsim\) é contínua.
3	Considere o conjunto \(X = [0,2] \times [0,2]\) e defina \(\succsim\) sobre \(X\) por: \((x,y) \succsim (z,w)\) se, e somente se, \(\lVert (x,y) - (1,1) \rVert \geq \lVert (z,w) - (1,1) \rVert\). Então \((0,0)\) é um elemento maximal.
4	A ordem lexicográfica é contínua.

Conceito	Definição
Relação de preferência (\(\succsim\))	Ordenamento sobre cestas de consumo indicando que uma cesta é "pelo menos tão boa quanto" outra.
Completude	Axioma que exige que o consumidor consiga comparar quaisquer duas cestas.
Transitividade	Axioma de consistência: se \(\mathbf{x} \succsim \mathbf{y}\) e \(\mathbf{y} \succsim \mathbf{z}\), então \(\mathbf{x} \succsim \mathbf{z}\).
Monotonicidade	"Mais é melhor": cestas com mais de pelo menos um bem são estritamente preferidas.
Função de utilidade	Função \(u: X \to \mathbb{R}\) que representa preferências: \(\mathbf{x} \succsim \mathbf{y} \iff u(\mathbf{x}) \geq u(\mathbf{y})\). É ordinal.
Curva de indiferença	Conjunto de cestas que proporcionam o mesmo nível de utilidade; curva de nível de \(u\).
Taxa marginal de substituição (TMS)	Quantidade do bem 2 que o consumidor abre mão por uma unidade adicional do bem 1, mantendo a utilidade constante; igual a \(\text{UMg}_1/\text{UMg}_2\).
Elasticidade de substituição (\(\sigma\))	Mede a facilidade com que o consumidor substitui entre bens; varia de 0 (complementos perfeitos) a \(\infty\) (substitutos perfeitos).
Preferências homotéticas	Preferências cuja TMS depende apenas da razão \(x_1/x_2\); geram elasticidade-renda unitária e participação constante na despesa.
Utilidade quase-linear	Função \(u = v(x_1) + x_2\) em que todo aumento de renda vai para \(x_2\); elimina o efeito renda sobre \(x_1\) e iguala as medidas de bem-estar (VC = VE = \(\Delta\)EC).

Item	Afirmação
0	Todos os tipos de preferências podem ser representados pela função de utilidade.
1	Sejam dois bens, \(X\) e \(Y\). A uma função de utilidade dada por \(U(X, Y) = XY\) corresponde uma curva de indiferença típica dada por \(Y = cX\), em que \(c\) é uma constante.
2	Se dois bens (\(A\) e \(B\)) forem substitutos perfeitos, pode-se, em geral, representar sua função de utilidade na forma \(U(A, B) = c_1 A + c_2 B\), em que \(c_1\) e \(c_2\) são constantes positivas.
3	A inclinação de uma curva de indiferença típica da função de utilidade \(U(A, B) = c_1 A + c_2 B\), em que \(c_1\) e \(c_2\) são constantes positivas, é \(-c_1/c_2\).
4	A transformação monotônica de uma função de utilidade não altera a taxa marginal de substituição (TMS), porque a TMS é medida ao longo de uma curva de indiferença, e a utilidade permanece constante ao longo da curva de indiferença.